§ 10. Умножение и деление многочлена на одночлен

Площадь прямоугольника высотой 3 и шириной x + 4 можно найти сразу: 3(x + 4). Если разрезать его вертикально, получатся площади 3x и 12. Их сумма совпадает с площадью целого. Так рисунок объясняет распределительное свойство.

Для буквенного множителя правило то же: 2x(x² − 3x + 5) = 2x³ − 6x² + 10x. Отдельно умножай коэффициенты и одинаковые буквенные степени. Число полученных произведений должно совпадать с числом членов внутри исходных скобок.

В (12x³ − 6x²) : (3x) каждый член делим на 3x. Получаем 4x² − 2x при x ≠ 0. Умножь результат на делитель: (4x² − 2x) · 3x = 12x³ − 6x² — исходное делимое восстановлено.

Нельзя использовать это правило в обратном расположении: a/(b + c) обычно не равно a/b + a/c. Деление суммы на число и деление числа на сумму — разные ситуации. Например, 12/(2 + 4) = 2, но 122 + 124 = 9.

Выражение (x² + x) : x равно x + 1 при x ≠ 0. Но (x² + 1) : x равно x + 1/x, что уже не многочлен. Обе операции допустимы для ненулевого x; различается форма ответа.

При нескольких действиях сначала выполни умножения и деления скобок, затем сложение или вычитание результатов. Если перед произведением стоит минус, сохраняй его до полного раскрытия. Не дели на выражение, которое может обратиться в нуль, без записи ограничения.

Сумма 12x² + 8x содержит общий множитель 4x. После деления каждого члена на 4x в скобках остаются 3x и 2: 4x(3x + 2). Само это равенство многочленов верно и при x = 0: в нём уже нет действия деления.

Чтобы проверить раскрытие или вынесение множителя, выполни обратный переход и сопоставь все члены. Знак вынесенного коэффициента влияет на знаки внутри: −2x(3x − 4) = −6x² + 8x. Скобки должны восстановить именно исходный многочлен.