§ 9. Сложение и вычитание многочленов

Сложим (3x² − 2x + 1) + (x² + 5x − 4). Сначала выпишем все шесть слагаемых со своими знаками. Затем соберём подобные: квадратные дают 4x², линейные — 3x, постоянные — −3. Ответ 4x² + 3x − 3.

Знак плюс перед скобками означает прибавление каждого члена многочлена. Это не делает отрицательные члены положительными: прибавить (−4) означает уменьшить сумму на 4. Если перед первыми скобками знак не записан, подразумевается плюс.

Вычтем (x² + 5x − 4) из (3x² − 2x + 1). Второй многочлен меняет все знаки: −x² − 5x + 4. После объединения получаем 2x² − 7x + 5. Последняя четвёрка стала положительной, потому что вычиталось отрицательное число.

Сначала раскрой скобки, затем приводи подобные: разделение этих шагов снижает риск потерять знак. Не пытайся одновременно перескакивать через несколько скобок. Для двойного отрицания −(−x + 2) получаем x − 2, а не x + 2.

Выражение a − b + c можно записать как a − (b − c). Если раскрыть новые скобки, исходная запись восстановится. Такой приём нужен при группировке и разложении на множители, когда хочется получить одинаковые выражения в скобках.

Для a + (−b + c) менять знаки не нужно: перед скобками плюс. Самый надёжный контроль обратного преобразования — вновь раскрыть скобки и сравнить члены. Слова «поставить скобки» не означают, что их можно расставлять произвольно, не меняя остальную запись.

Если P − Q = R, то R + Q должно дать P. Для (3x + 2) − (x − 5) получили 2x + 7. Прибавим x − 5: снова 3x + 2. Это независимая проверка направления вычитания.

Можно дополнительно подставить x = 0, чтобы проверить постоянный член, а x = 1 — сумму коэффициентов. Такие подстановки помогают обнаружить ошибку, но не заменяют полного тождественного преобразования. В итоговой записи проверь, не осталось ли подобных членов.