§ 11. Умножение многочленов

Вообрази прямоугольник со сторонами a + b и c + d, где все четыре длины положительны. Два разреза делят его на четыре области с площадями ac, ad, bc и bd. Сумма площадей равна площади целого прямоугольника.

Рисунок объясняет распределение для положительных длин. Алгебраическое свойство действует и для отрицательных чисел: его получают двойным применением распределительного закона. В каждом произведении обязательно участвует один член первой скобки и один член второй.

Для (x + 2)(x + 3) получаем x², 3x, 2x и 6. Два линейных члена подобны, поэтому ответ x² + 5x + 6. В таблице две строки и два столбца: каждая клетка — одно произведение.

При (x − 2)(x + 3) строка −2 умножается вместе со знаком. Получаем x² + 3x − 2x − 6 = x² + x − 6. Число членов окончательного результата может уменьшиться; проверять полноту нужно до их объединения.

В (2x − 1)(x + 4) первая строка даёт 2x² + 8x, вторая −x − 4. Сумма равна 2x² + 7x − 4. Если сразу писать ответ, легко забыть одно из двух линейных произведений.

Если в выражении есть ещё слагаемое, например −2x², присоединяй его после раскрытия обеих скобок. Тогда квадратные члены сократятся и останется 7x − 4. Видимая степень исходных скобок не обязательно совпадает со степенью всей окончательной суммы.

При x = 0 у (2x − 1)(x + 4) получается −4: это проверяет свободный член. При x = 1 исходная запись равна 5, а многочлен даёт 2 + 7 − 4 = 5. Такие проверки полезны, когда подозреваешь арифметическую ошибку.

Но совпадение в двух точках не заменяет доказательства. Основное обоснование — верное распределение всех множителей. Если задача требует произведение, раскрывать скобки иногда не нужно: разные формы одного выражения удобны для разных вопросов.