§ 12. Формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и квадрат разности двух выражений

Разрежь квадрат со стороной a + b по отметкам a на двух соседних сторонах. Внутри окажутся квадрат a², квадрат b² и два прямоугольника площадью ab каждый. Без прямоугольников часть большого квадрата осталась бы неучтённой.

Та же формула получается раскрытием (a + b)(a + b): a² + ab + ba + b². Средние члены подобны, поэтому дают 2ab. Геометрическое объяснение использует положительные длины, а алгебраическое доказательство позволяет брать любые числовые выражения.

Раскрой (a − b)(a − b): два смешанных произведения равны −ab, последнее произведение (−b)(−b) положительно. Поэтому знак перед b² всегда плюс. Для (x − 3)² получится x² − 6x + 9.

В формулу можно подставить целые выражения. Для (2x − 3y)² первое выражение 2x, второе 3y. Их квадраты равны 4x² и 9y², удвоенное произведение — 12xy. Ответ 4x² − 12xy + 9y²; двойку нельзя забывать ни в коэффициенте квадрата, ни в среднем члене.

В x² + 10x + 25 крайние члены — квадраты x и 5. Проверяем середину: 2 · x · 5 = 10x. Значит, весь трёхчлен равен (x + 5)². Если средний член был бы 7x, такая запись была бы неверна.

Для 4x² − 12x + 9 основания равны 2x и 3, а знак среднего члена выбирает разность: (2x − 3)². Не ориентируйся лишь на два квадратных члена. Нужно совпадение всех трёх частей, включая знак и коэффициент середины.

Найдём 99² = (100 − 1)² = 10 000 − 200 + 1 = 9801. Средняя поправка −200 важна: просто вычесть единицу из 10 000 нельзя. Для 102² получаем 10 000 + 400 + 4 = 10 404.

Проверь разумность: 99² немного меньше 100², а 102² немного больше. При решении уравнений квадратные члены иногда сокращаются, и остаётся линейное уравнение. Сначала раскрой формулы полностью, затем собирай подобные: раннее сокращение легко скрывает потерянный средний член.