§ 13. Формулы сокращенного умножения: произведение суммы и разности двух выражений

Обычное раскрытие даёт a² − ab + ab − b². Два смешанных члена противоположны, поэтому их сумма равна нулю. Остаётся разность двух квадратов. Важно, что в двух скобках стоят одни и те же выражения, а различается только знак между ними.

Например, (x + 5)(x − 5) = x² − 25. Для (x + 5)(x − 3) сокращения середины уже нет: получится x² + 2x − 15. Перед применением формулы сравни оба множителя, а не только наличие плюса и минуса.

В (3x + 2y)(3x − 2y) первая часть равна 3x, вторая — 2y. После возведения этих частей в квадрат получаем 9x² − 4y². Квадрат относится ко всему одночлену, поэтому коэффициенты тоже возводятся в квадрат.

Для 25 − 4x² формула читается обратно: это 5² − (2x)², значит (5 − 2x)(5 + 2x). Порядок частей разности сохраняй: 4x² − 25 даёт (2x − 5)(2x + 5), то есть противоположное исходному значение.

Для a = 5, b = 2 разность квадратов равна 25 − 4 = 21. Квадрат разности равен (5 − 2)² = 9. Во второй формуле есть средний член −2ab, а последний квадрат положителен. Перестановка скобок меняет саму операцию.

Не применяй формулу разности квадратов к сумме a² + b². В школьном разложении с действительными коэффициентами x² + 9 не превращается в (x − 3)(x + 3): это произведение равно x² − 9. Проверка раскрытием сразу показывает неверный знак.

Для 48 · 52 середина равна 50, отклонение — 2. Поэтому (50 − 2)(50 + 2) = 2500 − 4 = 2496. В уме это проще, чем перемножать двузначные числа обычным способом.

Для 101 · 99 середина равна 100, отклонение 1, результат 9999. Обязательно проверь одинаковость отклонений: 98 и 101 не являются парой 100 ± b с одним b. Метод можно повторять при разложении: x⁴ − 16 = (x² − 4)(x² + 4).