§ 14. Разложение многочлена на множители

В 6x² + 9x каждый член содержит 3x. После вынесения получаем 3x(2x + 3). Числовую часть общего множителя находят по общим делителям коэффициентов, буквенную — по наименьшим показателям букв, встречающихся во всех членах.

Проверка всегда доступна: раскрой произведение и получи исходную сумму. Если выносишь весь член, внутри остаётся 1: 5x + 5 = 5(x + 1). Нуль вместо единицы уничтожил бы постоянное слагаемое. Само тождество остаётся верным и при x = 0.

В xy + 2x + 3y + 6 первая пара равна x(y + 2), вторая — 3(y + 2). Теперь общая скобка y + 2: результат (x + 3)(y + 2). Новая скобка играет роль одного множителя, как раньше отдельная буква.

Если одинаковые скобки не получились, попробуй другую группировку или вынеси отрицательный множитель. Например, x(y − 2) − 3(y − 2) = (x − 3)(y − 2). Не прекращай преобразование на сумме двух произведений: цель — одно произведение.

В 4x² − 25 узнаём (2x)² − 5² и получаем (2x − 5)(2x + 5). В x² − 6x + 9 узнаём полный квадрат (x − 3)²: средний член действительно равен −2 · x · 3.

Часто нужны несколько приёмов: 2x³ − 18x = 2x(x² − 9) = 2x(x − 3)(x + 3). Сначала общий множитель, затем формула. После каждого шага проверь, можно ли продолжить разложение в рамках изученных формул.

Из (x − 2)(x + 5) = 0 получаем два случая: x = 2 или x = −5. Каждый найденный корень нужно проверить в исходном уравнении, особенно если при преобразованиях возникали делители. Произведение не требует, чтобы оба множителя обратились в нуль одновременно.

Не дели уравнение x(x − 3) = 0 на x без разбора: потеряешь корень x = 0. Для доказательства разложения умножь скобки обратно. Для практической задачи после нахождения чисел проверь также единицы и ограничения условия.