§ 15. Линейные уравнения с одной переменной

Число 3 является корнем 2x − 5 = 1: при подстановке выходит 6 − 5 = 1. Число 4 корнем не является, потому что левая часть равна 3. Решить уравнение — найти все корни или доказать, что их нет.

Буква x обозначает неизвестное число, а коэффициенты a и b заданы. Выражение 2x + 1 само по себе ещё не уравнение: нужен знак равенства и вторая часть. После раскрытия скобок многие более длинные уравнения сводятся к виду ax = b.

Из 3x + 5 = 20 вычитаем 5 с обеих сторон: 3x = 15. Затем делим обе стороны на 3: x = 5. Сокращённая фраза «перенесли пятёрку с минусом» означает именно вычитание 5 из обеих частей, а не произвольную смену знака.

Деление на нуль не определено. Умножение обеих частей на нуль в общем случае не сохраняет множество корней. Например, после умножения любого уравнения на нуль получится 0 = 0 и исчезнет вся информация. При переносе следи за знаком каждого слагаемого; раскрытие скобок выполняй отдельным шагом.

Для 4x = 12 получаем x = 3. Но для 0x = 12 деление на коэффициент невозможно: слева всегда 0, справа 12, значит решений нет. У 0x = 0 обе части совпадают при любом x, поэтому корней бесконечно много.

Такие случаи возникают после сокращения членов. Из 2(x + 1) = 2x + 2 получается верное равенство 2 = 2. Из 2(x + 1) = 2x + 3 получается неверное 2 = 3. Не назначай в обоих случаях ответ x = 0: x исчез из уравнения, а не оказался равным нулю.

Решим 2(x − 3) = x + 4. Раскроем скобки: 2x − 6 = x + 4. Вычтем x и прибавим 6: x = 10. Проверка даёт 2 · 7 = 10 + 4, то есть 14 = 14.

Если есть дробные коэффициенты, можно умножить обе части на общий знаменатель, но обязательно все слагаемые. Проверка в исходной записи обнаруживает ошибку в раскрытии скобок или переносе, которую последняя сокращённая строка уже не показывает.