§ 17. Числовые неравенства

Число −2 больше −5, потому что разность −2 − (−5) = 3 положительна. На прямой большая координата располагается правее. Модули здесь сравниваются в другом порядке, потому что модуль измеряет расстояние до нуля.

Знаки > и < задают строгие неравенства. Знаки ≥ и ≤ допускают равенство: «не меньше 4» включает само число 4. Не заменяй слово «не» автоматической сменой направления без учёта границы. Из a > b также следует b < a: поменялись местами стороны записи.

Из 2 < 5 следует 2 + 7 < 5 + 7, то есть 9 < 12. На прямой обе точки сдвинулись на одинаковое расстояние, и правая осталась правой. Вычитание одинакового числа — такой же сдвиг в обратную сторону.

Положительный множитель тоже сохраняет направление: 2 · 3 < 5 · 3. Но умножение на нуль уничтожает строгое неравенство: обе части становятся равными. Если множитель содержит букву, сначала нужно знать его знак; универсального разрешения умножать на неизвестную величину нет.

Из 2 < 5 после умножения на −1 получается −2 > −5. Точки отразились относительно нуля: их порядок поменялся. Умножение на −3 дополнительно растянет расстояния, но направление сравнения останется перевёрнутым.

Для нестрогого знака меняется направление, но возможность равенства сохраняется: из a ≤ b при умножении на −2 получаем −2a ≥ −2b. Нельзя менять ≤ на >: это исключило бы случай равных исходных чисел.

Если a > 3 и b > 5, то a + b > 8. Если обе части сравнения положительны, можно также перемножать неравенства одного направления. Но при отрицательных числах знак произведения требует отдельного анализа.

Для 0 < a < b обратные числа расположены наоборот: 1/a > 1/b. Например, 12 > 15. При вычитании оценок удобно сначала умножить второе неравенство на −1 и поменять знак, затем сложить нужные границы. Не вычитай почленно два знака < без обоснования.