§ 18. Линейные неравенства с одной переменной

Для 2x > 6 подходят 4, 5, 3,1 и бесконечно много других значений. После деления на 2 получаем x > 3. Это описание всех решений. Само число 3 не подходит: исходно получилось бы 6 > 6.

На прямой границу 3 отмечают пустой точкой, а луч направляют вправо. Для x ≥ 3 точка закрашенная: равенство допускается. Стрелка сообщает направление множества решений, а вид точки — отношение к границе. Эти две части рисунка проверяй отдельно.

Решим −2x + 5 ≥ 11. Вычтем 5: −2x ≥ 6. Разделим на −2 и поменяем знак: x ≤ −3. Проверим границу: при x = −3 получаем 11 ≥ 11, значит граница включена.

Для проверки направления возьми число с выбранной стороны, например −4: исходная левая часть 13, условие выполняется. Число 0 даёт 5 ≥ 11, что неверно. Проверка только граничной точки не обнаружила бы перепутанный луч.

После преобразований может получиться 0x < 5. Это всегда верно, поскольку 0 < 5; подходят все числа. У 0x > 5 решений нет. Делить обе части на коэффициент 0 нельзя ни в одном случае.

Уравнения и неравенства сходны по допустимым преобразованиям, но ответы устроены по-разному. Вместо «корня» у неравенства говорят о решениях или множестве решений. Если после сокращения получилось 0 ≤ 0, это верное утверждение для любого значения переменной.

На покупки есть 50 рублей, доставка стоит 8, одна тетрадь — 6. Для количества x получаем 6x + 8 ≤ 50, значит x ≤ 7. Но отрицательные и дробные количества тетрадей здесь не подходят: допустимы целые от 0 до 7.

Если вопрос о максимальном количестве, ответ 7, а не весь луч. Если неравенство строгое и получилось x < 7, максимальным целым количеством было бы 6. Обязательно различай «меньше», «не больше» и требование целочисленности.