§ 19. Функция

Для правила y = x² каждый выбранный x даёт одно число y. При x = 2 получаем 4, при x = −2 тоже 4. Это не нарушает определения: несколько разных входов могут иметь общий результат. Запрещена другая ситуация — два различных результата для одного и того же входа.

Аргумент обычно обозначают x, значение функции — y или f(x). Запись f(3) означает результат правила при аргументе 3, а не произведение f на 3. Зависимость должна задаваться точно; например, возраст человека сам по себе не определяет единственный рост.

Для y = 1/x нельзя брать x = 0. Для стоимости целых тетрадей аргументом может быть только целое неотрицательное количество. Формула сама по себе и практический смысл могут задавать разные ограничения: их нужно учитывать одновременно.

У y = x² на области x ∈ {−2; −1; 0; 1; 2} множество значений равно {0; 1; 4}. Повторяющиеся результаты не записывают дважды. Не путай горизонтальный список допустимых входов с вертикальным списком полученных выходов.

Для y = 2x + 1 при x = −1, 0, 1 получаем y = −1, 1, 3. Значит, точки (−1; −1), (0; 1), (1; 3) принадлежат графику. Из таблицы можно построить точки, а по формуле — проверить каждую из них.

Если область определения состоит из отдельных значений, график тоже состоит из отдельных точек. Соединение их линией означало бы добавление промежуточных аргументов. У непрерывной зависимости по подходящей формуле линия допустима, но её форму определяет правило, а не произвольное соединение.

Для y = x² при x = 3 результат равен 9. Но если дано y = 9, подходят два аргумента: 3 и −3. Обратный вопрос может иметь несколько ответов, один ответ или ни одного; определение функции этому не противоречит.

Графически вертикальная прямая через допустимый x пересекает график функции ровно один раз. Горизонтальная прямая может пересекать его несколько раз. При чтении графика начинай с осей, единиц и цены деления, затем называй пару значений.