§ 20. Линейная функция и ее свойства

Условная стоимость доставки равна 5 рублей за оформление и 2 рубля за каждый километр: y = 2x + 5. При x = 0 остаётся начальная плата 5. Увеличение x на 1 повышает стоимость на 2 — это коэффициент k.

В чисто математической формуле допустимы все числовые x. В задаче про расстояние x ≥ 0, а тариф действует только в оговорённых условиях. При b = 0 получаем прямую пропорциональность y = kx; при k = 0 — постоянную функцию y = b.

Для y = 2x + 1 удобно взять x = 0 и x = 2: точки (0; 1) и (2; 5). Проведи через них прямую, а не только отрезок, если область определения не ограничена. Третья точка (1; 3) служит проверкой.

При изменении b все точки поднимаются или опускаются одинаково: наклон сохраняется. При изменении k меняется наклон. На одинаковом масштабе осей это видно как поворот вокруг (0; b). Наклон на картинке сравнивай только с учётом масштабов осей.

Если x увеличился на Δx, то y изменится на k · Δx. Для y = −3x + 4 увеличение x на 2 уменьшает y на 6. Свободный член b исчезает из разности значений, поэтому на направление изменения не влияет.

Если k ≠ 0, множество значений математической функции — все числа; при k = 0 получается только одно значение b. Две прямые с одинаковым k и разными b параллельны. Если совпали и k, и b, совпадают сами прямые.

Через точки (1; 3) и (3; 7) проходит линейная функция. k = (7 − 3)/(3 − 1) = 2. Подставим первую точку: 3 = 2 · 1 + b, откуда b = 1. Формула y = 2x + 1 согласуется и со второй точкой.

Нуль функции находят из kx + b = 0, то есть x = −b/k при k ≠ 0. Это координата пересечения с горизонтальной осью, а b — с вертикальной. Не называй b корнем только потому, что это свободное число в формуле.