§ 23. Система линейных уравнений с двумя переменными

Пусть x + y = 10 и x − y = 2. Пара (6; 4) подходит обеим строкам: сумма 10, разность 2. Пара (7; 3) удовлетворяет сумме, но разность равна 4, поэтому решения системы из неё не получается.

Фигурная скобка означает совместное требование. В ответ записывают одну упорядоченную пару, если решение единственно. Недостаточно назвать отдельный x или отдельный y: оба значения должны принадлежать одному и тому же совместному решению.

Для системы x + y = 10, x − y = 2 запишем y = 10 − x и y = x − 2. Прямые имеют разные наклоны и пересекаются в (6; 4). Именно в этой точке выполняются обе связи.

Если график построен неточно, координаты считывают приближённо. Алгебраическая проверка отличает точный ответ от визуальной догадки. Один график может содержать бесконечно много точек, но пересечение двух таких множеств иногда состоит только из одной точки.

Прямые x + y = 4 и x + y = 7 параллельны и различны: ни одна пара не может иметь одновременно две разные суммы. Поэтому решений нет. Уравнения x + y = 4 и 2x + 2y = 8 описывают одну прямую, общих решений бесконечно много.

Если прямые пересекаются, решение одно. Чтобы распознать совпадение, умножаться должны все коэффициенты и правая часть на один ненулевой множитель. Совпадение только коэффициентов при x и y при другой правой части означает параллельность, а не совпадение.

Две площадки занимают 150 м², первая на 30 м² больше второй. Пусть площади x и y. Тогда x + y = 150, x − y = 30. Их общее решение (90; 60) удовлетворяет и сумме, и разности.

Нельзя считать вторым условием удвоенную первую строку: 2x + 2y = 300 не сообщает ничего нового. После решения проверь смысловые требования: площади положительны, единицы одинаковы. Если задача о количестве предметов, нужны ещё целые значения.