§ 24. Способы решения системы линейных уравнений с двумя переменными

В системе y = 7 − x, 2x + y = 10 первая строка уже готова. Вместо y во второй пишем 7 − x: 2x + 7 − x = 10. Находим x = 3, затем возвращаемся к первой строке: y = 4.

Важно подставлять в другое уравнение. Если заменить y в той же строке, из которой его выразили, получится тождество и не появится новая информация. Когда вместо переменной подставляется сумма, сохраняй скобки при её умножении на коэффициент.

В системе 2x + y = 9, 3x − y = 11 складываем левые и правые части: 5x = 20. Получаем x = 4. Затем подставляем в любую исходную строку: y = 1. Сумму используют вместе с одной исходной строкой, а не вместо всей системы.

Если оставить только 5x = 20, потеряется связь для y: одно значение x ещё не определяет пару. Это объясняет, почему после исключения переменной обязательно возвращаются к исходному уравнению. Проверка выполняется в обеих первоначальных строках.

Для x + 2y = 8, 3x + y = 9 умножим вторую строку на −2: −6x − 2y = −18. Складываем с первой: −5x = −10, откуда x = 2, y = 3. Выбор множителя направлен на уничтожение именно y.

Иногда удобнее умножить обе строки. Ищи небольшие общие кратные коэффициентов, чтобы не усложнять арифметику. Если коэффициент одной переменной уже 1 или −1, подстановка может оказаться короче. Оба метода должны сохранять один и тот же набор решений.

Если после исключения получилось 0 = 5, система несовместна: решений нет. Если получилось 0 = 0, одна строка повторяла другую. Тогда остаётся одно уравнение с двумя неизвестными, а у системы бесконечно много решений при отсутствии дополнительных ограничений.

В случае бесконечного множества запиши связь между переменными, например y = 4 − x. Не выдавай одну случайную пару как полный ответ. Для единственного решения проверь обе строки и порядок координат; для текстовой задачи вернись к значениям выбранных переменных.