§ 25. Решение текстовых задач с помощью системы линейных уравнений

Продали 10 билетов: взрослые по 8 рублей и детские по 5; выручка 65 рублей. Пусть x — взрослые билеты, y — детские. По количеству x + y = 10, по стоимости 8x + 5y = 65. Каждая строка отвечает на отдельный вопрос.

Число 8x означает рубли, а x — билеты. Нельзя складывать в одной сумме количество и стоимость. Таблица с колонками «цена», «количество», «стоимость» помогает не потерять связь. Подписи единиц делают ошибочную модель заметной до вычислений.

Умножим x + y = 10 на 5: 5x + 5y = 50. Вычтем эту строку из стоимостной: 3x = 15. Получаем x = 5, y = 5. Значит, продали по пять билетов каждого вида.

Проверим обе связи: 5 + 5 = 10 билетов, 8 · 5 + 5 · 5 = 65 рублей. Проверка только суммы количества не выявила бы ошибку в цене. Прикладной ответ требует неотрицательных целых значений, даже если уравнения допускают другие числа.

Нужно смешать 100 г раствора с концентрацией 10 % и некоторое количество 20 %-го, чтобы получить 15 %-й. Масса вещества в первом — 0,1 · 100 г; во втором — 0,2y г. Общая масса 100 + y, масса вещества в смеси — 0,15(100 + y).

В задаче с двумя неизвестными массами x и y при известной общей массе M записывают x + y = M и 0,1x + 0,2y = 0,15M. Проценты относятся к массам соответствующих растворов, а не к одному общему основанию до смешивания.

Если катер идёт по течению, скорость равна v + u, против течения — v − u, где v — собственная скорость, u — скорость течения. При данных временах пройденные пути равны соответствующим произведениям скорости и времени.

Полчаса записывают как 0,5 ч, когда скорость задана в км/ч. После нахождения v и u проверь v > u ≥ 0 для движения против течения в этой модели. Выбор двух переменных удобен, но не обязателен: ту же задачу иногда можно решить одним уравнением.