§ 5. Тождество

Выражения 7x + 2x и 9x равны при любом x, потому что 7x + 2x = (7 + 2)x = 9x по распределительному свойству. Это объяснение сразу охватывает положительные, отрицательные и нулевое значения.

Равенство x² = x верно при x = 0 и x = 1, но при x = 2 получается 4 ≠ 2. Поэтому это не тождество. Чтобы опровергнуть общее утверждение, достаточно одной допустимой подстановки, при которой стороны различаются.

В 4x · (−3) можно переставить числовые множители и получить −12x. В 5(x − 2) распределительное свойство даёт 5x − 10. Меняется внешний вид записи, но для каждого допустимого x числовой результат остаётся прежним.

Смысл свойства важнее сокращённого правила. Переход 5(x − 2) → 5x − 2 неверен: множитель 5 должен попасть к каждому члену скобки. Проверка при x = 0 сразу обнаружит ошибку: слева −10, справа −2. В модели меняй x и ищи контрпример неверной формуле.

Равенство x²/x = x верно при x ≠ 0. Правая часть допускает нуль, но левая — нет. Поэтому общая область определения исключает нуль. Нельзя подставить запрещённое значение только потому, что после преобразования знаменатель исчез.

Чтобы доказать тождество, обычно упрощают одну сторону до другой или обе стороны до одного выражения. Каждый переход должен опираться на известное свойство. Удобно подписывать причины: «раскрыли скобки», «собрали подобные», «применили свойство степени».

Для ложной формулы (a + b)² = a² + b² неудобно брать b = 0: равенство случайно выполнится. Возьми a = b = 1: 4 ≠ 2. Подстановка должна проверять именно то место, где подозреваешь ошибку.

Не пытайся доказать тождество делением на выражение, которое может быть нулём, без отдельного разбора этого случая. Для школьных многочленов надёжнее раскрыть скобки и привести подобные. Если разность левой и правой частей упрощается до нуля, равенство доказано на допустимой области.