§ 7. Действия с одночленами

В произведении (−2x²y)(3xy³) числовая часть равна −6. Буква x встречается в сумме три раза, y — четыре раза. Получается −6x³y⁴. Переменная, встречающаяся только в одном множителе, тоже остаётся в результате.

Порядок удобен такой: отдельно знак, затем модуль коэффициента, затем каждая буква. Если переменная записана без показателя, её показатель равен 1. Например, x² · x = x³. Не складывай показатели разных оснований: x²y³ нельзя заменить на одну пятую степень.

В 12x⁵y³ : (3x²y) коэффициент равен 4, показатели равны 5 − 2 и 3 − 1. Результат 4x³y² при x ≠ 0, y ≠ 0. Эти ограничения пришли из исходного делителя и сохраняются после сокращения.

Результат не всегда является одночленом: x² : x⁵ = x⁻³ = 1/x³ при x ≠ 0. Отрицательная степень переменной не соответствует определению одночлена этого курса. Поэтому фраза «частное одночленов всегда одночлен» неверна.

В (−2x²y)³ число −2 возводится в куб и даёт −8. Показатель x умножается на 3: (x²)³ = x⁶. У y получается третья степень. Итог −8x⁶y³. Оставить коэффициент −2 без изменения означало бы возвести в степень лишь часть произведения.

Для квадрата отрицательного коэффициента знак будет положительным. Например, (−3xy²)² = 9x²y⁴. Проверь степень результата: исходный ненулевой одночлен имеет степень 3, после квадрата — 6. Такая дополнительная проверка помогает заметить потерянный показатель.

В 7x²y − 3x²y складываются коэффициенты: (7 − 3)x²y = 4x²y. Буквенная часть не меняется: семь одинаковых частей минус три такие же части дают четыре. Одночлены xy² и x²y не подобны, хотя содержат одинаковые буквы.

Неподобные одночлены тоже можно записать в сумме, но обычно нельзя заменить эту сумму одним одночленом. Сравни: x² + x² = 2x², а x² · x² = x⁴. Прежде любого действия произнеси его название: сложение и умножение нельзя проверять одной формулой.