§ 8. Многочлен

В 3x² − 2xy + y − 5 четыре члена: 3x², −2xy, y и −5. Минус относится к следующему члену. Если читать только положительные части, при дальнейшей группировке изменится значение выражения.

Выражение с двумя членами называют двучленом, с тремя — трёхчленом. Число членов зависит от записи: x + x содержит два записанных слагаемых, а после упрощения 2x остаётся одно. Поэтому в задачах о стандартном виде сначала выполняют приведение подобных.

В 4x² + 3x − x² + 7 − 5x собери квадраты: 4x² − x² = 3x². Затем линейные члены: 3x − 5x = −2x. Постоянный член 7 остаётся. Получается 3x² − 2x + 7.

Для наглядности можно мысленно разложить члены в разные ячейки: «x²», «x», «числа». Перестановки слагаемых разрешены, если сохраняются их знаки. Слагаемые с коэффициентом 0 исчезают: это не потеря члена, а результат взаимного уничтожения.

В 2x³y − 5x² + 7 степени членов равны 4, 2 и 0. Степень всего многочлена равна 4. Здесь учитывают сумму показателей внутри каждого одночлена, а не только наибольшую отдельную цифру в показателе.

Нельзя складывать степени разных членов. Для 3x⁵ − 3x⁵ + x² сначала получаем x², затем называем степень 2. Если многочлен полностью сократился до нуля, степень нулевого многочлена в рамках данного определения не назначают.

Выражение 8x² − 3x + 2x² + 3x равно 10x²: линейные члены исчезли. При x = −2 остаётся вычислить один квадрат и одно произведение: 10 · 4 = 40. Подстановка в исходную запись дала бы тот же ответ, но потребовала больше действий.

Проверяй, что каждый исходный член попал в свою группу ровно один раз. В записи по убыванию степеней удобно заметить пропуски, но отсутствующий член не означает ошибку: у x³ + 2 может не быть ни квадратного, ни линейного слагаемого.