§ 10. Высота, медиана и биссектриса треугольника

Высота AH идёт из A к прямой BC под прямым углом. Медиана AM соединяет A с серединой BC: BM = MC. Биссектриса AK встречает BC так, что ∠BAK = ∠KAC. Во всех случаях начало — вершина, но условия у концов разные.

На рисунке для высоты нужен квадрат прямого угла, для медианы — одинаковые штрихи на половинах стороны, для биссектрисы — одинаковые дуги у вершины. Одна линия, проведённая «посередине», без этих условий ничего не доказывает.

Поэтому в определении высоты говорят о прямой, содержащей сторону, а не только о самом отрезке. Если основание оказалось вне треугольника, высота остаётся правильной: проверяются начало в вершине и перпендикулярность.

У прямоугольного треугольника два катета сами служат высотами. У каждого треугольника три высоты, три медианы и три биссектрисы — по одной из каждой вершины. Не путай количество отрезков с количеством точек их пересечения.

Если BC = 18 см и AM — медиана, то BM = MC = 9 см. Длина самой AM из этого не определяется. Если угол A равен 64° и AK — биссектриса, то две половины по 32°, но равенство BK и KC в общем случае не следует.

Для высоты AH известно ∠AHB = 90°, если H и B различны и лежат на прямой BC. Её длину нельзя найти только по слову «высота». Каждое определение сообщает свою связь, а не все возможные свойства сразу.

Три медианы пересекаются в одной точке, три биссектрисы — тоже в одной, а три высоты или их продолжения имеют общую точку. Это разные замечательные точки. У тупоугольного треугольника точка пересечения высот лежит вне фигуры.

Не переносись от симметричного примера ко всем треугольникам. В интерактивной модели смещай вершину и наблюдай, как расходятся основания высоты, медианы и биссектрисы. Совпадение требует обоснования, а не просто аккуратного центрального положения.