§ 11. Равнобедренный треугольник

Пусть AB = AC. Боковые стороны сходятся в A, поэтому BC — основание, а A — вершина напротив основания. Основание не обязано быть нижней или самой короткой стороной на рисунке.

Периметр выражается как P = 2a + b, где a — боковая сторона, b — основание. Если a = 7 см, b = 10 см, то P = 24 см. При известном периметре и основании боковая сторона равна (P − b)/2.

Проведём биссектрису AD из вершины A. В треугольниках ABD и ACD стороны AB и AC равны, AD общая, углы BAD и DAC равны. По первому признаку треугольники равны, следовательно, углы при B и C равны.

Это доказательство одновременно объясняет симметрию половин. Если один угол при основании 50°, другой тоже 50°. Не надо измерять второй угол по изображению. Обратное утверждение тоже верно: равенство двух углов позволяет заключить равенство противоположных сторон.

Из равенства ABD и ACD следует BD = DC: биссектриса делит основание пополам. Углы ADB и ADC тоже равны. Они смежные, поэтому каждый равен 90°. Значит, AD одновременно перпендикулярна основанию.

Если по условию проведена медиана или высота к основанию, можно использовать все три её свойства. Но это относится именно к линии из вершины между равными сторонами. Медиана к боковой стороне не обязана быть биссектрисой или высотой.

Если сказано, что стороны равнобедренного треугольника равны 5 и 8 см, возможны наборы 5, 5, 8 и 8, 8, 5. Их периметры различны: 18 и 21 см. Нужна дополнительная информация, чтобы выбрать один.

Иногда один вариант исключается неравенством треугольника, которое изучается далее: для длин 3 и 7 набор 3, 3, 7 невозможен. Не назначай основание по его положению на картинке. Сначала используй формулировку условия и отметки равенства.