§ 9. Первый и второй признаки равенства треугольников

Пусть AB = DE, AC = DF и ∠BAC = ∠EDF. Совместим вершины A и D и равные углы. На двух совпавших лучах равные длины однозначно задают положения B с E и C с F. Все вершины совпадут, значит треугольники равны.

Угол должен лежать именно между известными сторонами. Если дан угол напротив одной из них, положение третьей вершины в общем случае может оказаться неоднозначным. Список «две стороны и какой-то угол» не заменяет точной формулировки признака.

Совместим равные стороны AB и DE. Равенство углов при A и D определяет одинаковый луч для третьей вершины, равенство углов при B и E — второй луч. Их пересечение задаёт одну и ту же точку, поэтому третьи вершины совпадут.

Сначала найди общую для данных углов сторону. Для углов A и B это AB. В чертеже отметь одну черту на равных сторонах и одинаковые дуги на соответствующих углах. Отметки показывают условия, а не вывод, который ещё только предстоит доказать.

Две диагональные линии пересекаются в O. Если OA = OC и OB = OD, треугольники AOB и COD равны: две пары сторон даны, а углы AOB и COD вертикальные и потому равны. Угол лежит между указанными сторонами.

После установления равенства можно заключить AB = CD и равенство других соответствующих углов. Нельзя сначала использовать это ещё не доказанное равенство сторон для обоснования самого признака. Рассуждение должно идти от условий к новым следствиям.

Если A ↔ D, B ↔ F, C ↔ E, то запись ΔABC = ΔDFE правильна. Перестановка последних букв меняет соответствие и может привести к неверным выводам о сторонах. Полезно выписать пары вершин отдельной строкой.

Одинаковый периметр не является признаком равенства. Например, стороны 3, 4, 5 и 4, 4, 4 дают одинаковый периметр 12, но треугольники разные. Проверяй именно набор элементов одного из доказанных признаков.