§ 12. Признаки равнобедренного треугольника

Если углы B и C равны, противоположные стороны AC и AB равны. Значит, треугольник равнобедренный с основанием BC. Это обратное направление относительно свойства равных углов при основании.

В доказательстве не надо заранее писать AB = AC только потому, что рисунок выглядит симметрично. Нужно получить это равенство из условия. В интерактивной схеме проверяй, какой факт дан, и какой именно факт предстоит вывести.

Пусть AM — медиана к BC и AM ⊥ BC. У треугольников ABM и ACM общая сторона AM, равные BM и MC, а углы при M прямые. По двум сторонам и углу между ними треугольники равны, значит AB = AC.

В этом доказательстве каждый из двух терминов даёт своё условие. «Медиана» сообщает половины стороны, «высота» — равные прямые углы. Одна медиана без перпендикулярности не даёт достаточного набора для вывода.

Если биссектриса является высотой, два полученных треугольника имеют общую сторону и равные прилежащие к ней углы: половины угла вершины и прямые углы. По второму признаку равенства получаем равные боковые стороны.

Если AM — медиана и биссектриса, продолжи AM за M до D так, чтобы MD = AM. Треугольники ABM и DCM равны по двум сторонам и вертикальному углу: AB = DC и ∠BAM = ∠CDM. По условию ∠BAM = ∠MAC. Поэтому в треугольнике ACD углы при D и A равны, откуда AC = DC = AB.

Если AM делит и угол A, и сторону BC пополам, то это одновременно биссектриса и медиана: AB = AC. Если известно только деление стороны, вывод невозможен. Если только деление угла — тоже.

После доказательства равнобедренности разрешено применять её свойства: получать равные углы, половины основания и прямой угол. В записи решения разделяй этапы «доказали вид» и «применили свойство». Это предотвращает круг в рассуждениях и показывает смысл признака.