§ 13. Третий признак равенства треугольников

Пусть AB = DE, BC = EF, AC = DF. После совмещения AB с DE третья вершина должна находиться на заданных расстояниях от обоих концов основания. Возможны положения по разные стороны основания, но они зеркальны и совмещаются переворотом.

Именно поэтому каркас из трёх жёстких планок сохраняет форму. Четырёхугольный каркас с шарнирами может менять углы при прежних длинах сторон. Для треугольника три стороны задают достаточный набор данных.

Один способ доказательства прикладывает два треугольника по общей стороне в разные полуплоскости. Соединение оставшихся вершин создаёт равнобедренные треугольники; равные углы при их основаниях позволяют получить нужный угол и применить первый признак.

Для решения задачи обычно не нужно повторять всё доказательство теоремы. Достаточно перечислить три конкретные пары сторон и сослаться на третий признак. После этого запиши нужное следствие с правильным соответствием вершин.

Пусть точки B и D лежат по разные стороны от AC, причём AB = AD и CB = CD. Треугольники ABC и ADC имеют ещё общую сторону AC. Все три пары равны, значит треугольники равны. Отсюда ∠BAC = ∠CAD: отрезок AC делит угол BAD пополам.

Общую сторону часто забывают, потому что она не дана отдельным числом. Но равенство AC = AC всегда верно. В доказательстве оно занимает третье место набора, а не является дополнительным необязательным замечанием.

Треугольники со сторонами 3, 4, 5 и 6, 8, 10 имеют одинаковые соответствующие углы, но второй вдвое больше. Они не равны. Равные периметры также не достаточны: распределение длин может отличаться.

Когда проверяешь признак, не считай просто количество данных. Три произвольных равенства не всегда образуют допустимый набор. Для третьего признака это именно три стороны; для первого — две стороны и заключённый угол; для второго — сторона и два прилежащих угла.