§ 14. Серединный перпендикуляр к отрезку

Пусть M — середина AB. Прямая l должна проходить через M и быть перпендикулярной AB. Только прохождения через середину недостаточно; только прямого угла тоже недостаточно. Для каждого ненулевого отрезка такая прямая единственна.

На рисунке отмечают AM = MB одинаковыми штрихами и прямой угол квадратом. Эти две отметки заменяют длинную словесную запись. Если одна из них отсутствует в условии, её нельзя добавлять из-за внешней симметрии рисунка.

Возьми P на l. Треугольники PAM и PBM имеют равные AM и BM, общую PM и равные прямые углы при M. По первому признаку они равны, значит PA = PB. Если P совпадает с M, равенство уже следует из определения середины.

Точку P можно двигать вдоль всей прямой: расстояния PA и PB изменяются, но остаются равными между собой. Это не означает, что все точки l находятся на одном фиксированном расстоянии от A; величина расстояния зависит от положения P.

Если PA = PB и P не лежит на AB, треугольник PAB равнобедренный. Медиана PM к основанию одновременно высота, значит PM ⊥ AB. Если P лежит на AB и расстояния равны, P — середина M.

Свойство и обратное утверждение вместе описывают все нужные точки. Одного прямого утверждения было бы недостаточно: оно показало бы, что точки линии подходят, но не исключило бы другие точки вне линии.

Нужно найти точку на данной прямой m, равноудалённую от A и B. Построй серединный перпендикуляр l и найди пересечение с m. При пересечении ответ один, при разных параллельных прямых его нет, при совпадении подходит вся прямая.

Центр окружности, проходящей через A и B, тоже должен лежать на l, потому что радиусы OA и OB равны. Условие прохождения через третью точку добавляет ещё один серединный перпендикуляр. Так геометрическое свойство превращается в способ построения.