§ 19. Сумма углов треугольника

Через вершину B проведём прямую, параллельную AC. Угол A равен углу у B по накрест лежащим углам, угол C переносится к B тем же способом. Вместе с исходным углом B они заполняют развёрнутый угол на новой прямой.

Так доказательство охватывает любой невырожденный треугольник на плоскости. Измерение транспортиром может дать 179° или 181° из-за погрешности, но это не изменение теоремы. Не округляй теоретическую сумму по неточному чертежу.

Для 48° и 67° третий угол равен 180° − 115° = 65°. Важно вычесть обе известные величины, а не их разность. Проверка 48 + 67 + 65 = 180 подтверждает результат.

У треугольника не бывает двух прямых или двух тупых углов: их сумма уже не оставила бы места третьему положительному углу. Поэтому вид по углам определяется самым большим углом. Все углы равностороннего треугольника равны по 60°.

Один угол уже занимает 90° из общей суммы 180°. На оставшиеся два остаётся 90°. Если один острый угол 28°, другой равен 62°. Сторона напротив прямого угла — гипотенуза, стороны прямого угла — катеты.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике острые углы равны, поэтому каждый по 45°. Если проведена высота к гипотенузе, появляются меньшие прямоугольные треугольники. Их углы удобно находить как дополнения к одному и тому же острому углу.

Если углы относятся как 2 : 3 : 4, обозначим их 2x, 3x, 4x. Тогда 9x = 180°, x = 20°. Углы равны 40°, 60°, 80°. Числа отношения — количество одинаковых долей, а не сами градусы.

Для равнобедренного треугольника с вершиной 40° каждый угол основания равен (180° − 40°)/2 = 70°. Если дан угол основания, сначала удвой его, а затем вычти из 180°. Всегда уточняй, какой угол указан.