§ 20. Внешний угол треугольника

Продлим BC за C до D. Угол ACD внешний, угол ACB внутренний, и их сумма равна 180°. Важно продолжить именно сторону: любой угол за пределами треугольника внешним в этом смысле не называется.

У каждой вершины можно построить два внешних угла, продолжая по очереди одну из сторон. Эти два внешних угла равны как вертикальные. Но в сумме внешних углов обычно выбирают по одному при каждой вершине.

Пусть внутренние углы A, B, C. Из суммы треугольника A + B = 180° − C. Внешний при C тоже равен 180° − C. Значит, внешний = A + B. В доказательстве два выражения равны одному и тому же числу.

Если A = 45°, B = 70°, внешний при C равен 115°. Сам угол C равен 65°. Не складывай внешний с обоими удалёнными до 180°: внешний уже является их суммой, а до 180° его дополняет только соседний внутренний.

Если внешний угол равен 100°, любой из двух не смежных с ним внутренних углов меньше 100°. Но соседний внутренний равен 80° и сравнивается по другой причине: смежности. Теорема о большем внешнем относится именно к двум удалённым углам.

Нельзя сказать, что внешний всегда больше каждого внутреннего. При маленьком внешнем, например 40°, соседний внутренний равен 140°. Уточнение «не смежного с ним» является существенной частью утверждения.

Каждый внешний равен 180° минус соответствующий внутренний. Поэтому сумма равна 3 · 180° − 180° = 360°. Например, для внутренних 50°, 60°, 70° внешние равны 130°, 120°, 110°.

Если известны два внешних угла, можно найти третий вычитанием из 360°, затем перейти к внутреннему через 180°. Перед вычислением проверь, что выбран ровно один внешний у каждой вершины, а не два у одной и ни одного у другой.