§ 2. Предмет геометрии

Натянутая нить напоминает отрезок, край стола — прямую, поверхность листа — часть плоскости. Настоящие предметы имеют толщину и неровности, а геометрические модели позволяют отвлечься от этих деталей. Точка обозначает положение и не имеет размера.

На рисунке точку приходится делать видимой кружком, а прямую — конечной линией. Это условности изображения. Точки обозначают прописными буквами, прямые — строчными или двумя различными точками. Когда говорят «A лежит на a», сообщают точное отношение между объектами.

Треугольник и окружность можно целиком расположить на плоскости. Куб как тело требует трёх измерений. Его рисунок на листе — плоское изображение пространственной фигуры, а не сам куб.

На плоскости две различные прямые либо пересекаются, либо параллельны. В пространстве они могут ещё быть скрещивающимися: не пересекаться и не лежать в одной плоскости. Поэтому оговорка «на плоскости» в теоремах не является лишней.

Фраза «диаметр — хорда, проходящая через центр» вводит название. Утверждение о единственной прямой через две различные точки служит аксиомой. Свойство вертикальных углов является теоремой: его можно вывести из других известных свойств.

В теореме выделяют условие и заключение. Условие сообщает, что дано, заключение — что надо получить. Доказательство строит цепочку обоснованных переходов между ними. Нельзя использовать желаемый вывод как уже известное основание: так получится рассуждение по кругу.

Два треугольника могут быть повернуты по-разному или зеркально отражены и всё же совпасть после наложения. Ориентация рисунка не меняет длин и углов. Увеличенная копия сохраняет форму, но уже не равна исходной фигуре, если размеры изменились.

Измерение показывает пример и помогает выдвинуть предположение. Но даже много измеренных треугольников не доказывают утверждение обо всех треугольниках. Для доказательства используют определения, аксиомы и уже доказанные теоремы, а рисунок помогает увидеть связи.