§ 21. Соотношения между сторонами и углами треугольника

Пусть A = 40°, B = 60°, C = 80°. Напротив C лежит AB, значит AB самая длинная. Напротив A лежит BC, значит BC самая короткая. Получаем BC < AC < AB. Сначала сопоставляем стороны с противоположными вершинами, затем переносим порядок.

Не сравнивай по этому правилу стороны разных треугольников: большой угол маленького треугольника не гарантирует большой абсолютной длины. Теорема связывает элементы внутри одной фигуры. При равных углах противоположные стороны равны — это случай равнобедренности.

Если AB > AC, на AB можно выбрать D так, что AD = AC. Треугольник ACD равнобедренный, поэтому его углы при D и C равны. Угол ADC — внешний для треугольника BCD, поэтому ∠ADC > ∠DBC = ∠ABC. А весь угол ACB больше своей части ACD. Собираем цепочку: ∠ACB > ∠ACD = ∠ADC > ∠ABC.

Обратное утверждение доказывают исключением: если при ∠C > ∠B сторона AB была бы равна AC, углы были бы равны; если была бы меньше, порядок углов стал бы обратным. Оба варианта противоречат условию, остаётся AB > AC.

Гипотенуза лежит напротив прямого угла, катеты — напротив острых. Поэтому каждый катет меньше гипотенузы. Если по условию катет равен 8 см, гипотенуза не может быть 7 см или 8 см.

Это сравнение не даёт точной длины второго катета: для вычисления нужно больше данных. Отличай вывод «больше» от формулы точного значения. В данном параграфе работаем с порядком величин и геометрическими следствиями сравнения.

Пусть PH ⊥ a, K — другая точка на a. Треугольник PHK прямоугольный: PH — катет, PK — гипотенуза. Поэтому PH < PK. Проекция HK тоже является катетом и меньше PK.

Расстояние от точки до прямой поэтому измеряют по PH. Длина наклонной включает отклонение вдоль прямой и не может дать меньший результат. На рисунке меняй положение K: основание H остаётся одним и тем же, а наклонная меняет длину.