§ 22. Неравенство треугольника

Путь из A в C через вершину B длиннее прямого отрезка AC, поэтому AC < AB + BC. Аналогичные неравенства верны для остальных сторон. Знак строгий: равенство означает вырождение в одну прямую, а не треугольник.

Для длин 2, 3, 5 сумма коротких равна длинной: излом исчезает. Для 2, 3, 4 сумма коротких больше 4, треугольник возможен. Для 2, 3, 6 короткие стороны даже не достают друг до друга, чтобы замкнуть фигуру.

Возьми стороны 5, 7, 9. Наибольшая 9 меньше 5 + 7 = 12, значит все три неравенства выполняются. Остальные сравнения очевидны: к наибольшей стороне прибавляется положительная длина, поэтому сумма больше любой меньшей.

Если хотя бы одна длина неположительна, набор уже не подходит. Сначала проверь, что это положительные числа, затем выбери наибольшее. Такой порядок избавляет от лишних вычислений и не пропускает невозможные граничные случаи.

Если две стороны 5 и 8 см, третья больше 3 см и меньше 13 см. Слишком короткая не соединит концы, слишком длинная не позволит замкнуть фигуру. Границы 3 и 13 не включаются, потому что дают прямую линию.

Если спрашивают целые длины, подходят 4, 5, …, 12 см. Минимальная целая — 4, максимальная — 12. Без требования целочисленности наименьшей длины нет: можно брать 3,1; 3,01; 3,001, оставаясь выше 3.

У равнобедренного треугольника известны разные длины 3 и 7. Вариант 3, 3, 7 невозможен: 6 < 7. Поэтому боковые стороны по 7, основание 3, периметр 17. Нельзя автоматически удваивать меньшее число.

В практической модели три подвижных звена покажут условие наглядно. Но доказательство невозможности — числовое неравенство, а не неудачная попытка на экране. Для построения циркулем то же условие определяет, пересекутся ли две нужные окружности в двух точках.