§ 23. Признаки равенства прямоугольных треугольников

Если два катета одного равны двум катетам другого, треугольники равны по первому общему признаку: между катетами уже есть равные углы 90°. Поэтому достаточно записать две пары равных длин и указать прямые углы.

Если треугольники не известны как прямоугольные, равенство двух сторон ещё ничего не гарантирует. Слова «катет» и «гипотенуза» сами подразумевают прямоугольный треугольник; в обычном треугольнике такие названия не применяют.

Если угол прилежит к выбранному катету, вместе с прямым углом получаем сторону и два прилежащих угла — второй общий признак. Если дан противолежащий острый угол, второй острый находят как дополнение до 90°, затем применяют тот же признак.

Нужно сохранять соответствие: нельзя в одном треугольнике взять угол напротив данного катета, а в другом — угол рядом с соответствующим катетом. Такие данные могут описывать разные размеры, несмотря на одинаковые числа в условии.

Равенство острого угла даёт равенство второго острого, потому что их сумма 90°. Гипотенуза с двумя прилежащими острыми углами тогда позволяет применить второй общий признак.

Признак по гипотенузе и катету особый: прямоугольность устраняет неоднозначность, возможную для произвольных двух сторон и не заключённого угла. Доказательство можно построить совмещением катетов и получением равнобедренного треугольника из равных гипотенуз.

Одних равных гипотенуз недостаточно: острые углы могут различаться. Одних равных острых углов тоже недостаточно: один треугольник может быть увеличенной копией другого. В каждом признаке присутствует хотя бы одна длина.

Для доказательства отметь прямые углы, выпиши две нужные пары и назови признак. После равенства можно переносить длины и углы. Если у треугольников общий отрезок, внимательно установи, является ли он катетом или гипотенузой в каждом из них.