§ 24. Свойство точек биссектрисы угла

Пусть P находится на биссектрисе угла A. Опустим PH и PK на стороны угла. Эти отрезки не обязаны выглядеть горизонтальными или вертикальными: важно, что каждый образует 90° со своей стороной.

Произвольные наклонные от P к сторонам не обязаны быть равными. Поэтому в условии и на чертеже нужно отличать «соединить со стороной» от «измерить расстояние». Обозначай основания и прямые углы, прежде чем применять теорему.

Треугольники APH и APK прямоугольные. Гипотенуза AP общая, а острые углы при A равны по определению биссектрисы. По признаку равенства прямоугольных треугольников получаем PH = PK.

Перемещая P дальше от вершины, изменяем оба расстояния, но равенство сохраняется. Равенство не означает постоянства длины. При угле 60° каждый из двух прямоугольных треугольников имеет угол 30° у вершины, что позже позволит связать расстояние с AP.

Если PH = PK, прямоугольные треугольники APH и APK равны по общей гипотенузе AP и катету. Поэтому углы HAP и PAK равны, то есть AP делит исходный угол пополам.

Оговорка «внутри угла» важна. Для двух пересекающихся прямых множество равноудалённых точек включает две взаимно перпендикулярные биссектрисы углов между ними. Без выбора внутренней области можно получить другое направление.

Центр окружности, касающейся обеих сторон угла изнутри, одинаково удалён от них: оба расстояния равны радиусу. Поэтому центр лежит на биссектрисе. Если радиус задан, добавляется условие фиксированного расстояния до одной стороны.

Построив параллельную стороне прямую на нужном расстоянии внутри угла, пересечём её с биссектрисой. Полученная точка удовлетворяет обоим требованиям. В таком рассуждении каждая часть условия превращается в отдельную геометрическую фигуру.