§ 6. Смежные углы. Вертикальные углы

Пусть A, O, B лежат на прямой, а луч OC делит развёрнутый угол. Углы AOC и COB смежные, их сумма равна 180°. Если первый 65°, второй 180° − 65° = 115°.

Недостаточно, чтобы два угла просто имели общую сторону. Две другие стороны должны образовать прямую. И равенство суммы 180° само по себе без расположения не делает два отдельно нарисованных угла смежными.

При пересечении двух прямых четыре угла образуют две противоположные пары. В каждой паре углы вертикальные и равны. Если один угол 65°, напротив него тоже 65°, а два соседних равны по 115°.

Доказательство короткое: два вертикальных угла смежны с одним и тем же третьим углом. Каждый равен 180° минус этот общий третий угол, значит они равны между собой. Здесь равенство выведено, а не принято по виду рисунка.

Если один из углов равен 130°, соседний равен 50°. Поэтому угол между прямыми — 50°, а не 130°. При перпендикулярных прямых все четыре угла равны 90°, и выбора между разными величинами уже нет.

Равные углы не обязательно вертикальные: для вертикальности нужно соответствующее расположение сторон. Аналогично два угла по 90° могут быть смежными, а могут находиться в разных местах чертежа. Сначала устанавливай геометрическое отношение, затем используй числовое свойство.

Пусть смежные углы равны α и β. Тогда α + β = 180°. Их половины дают α/2 + β/2 = 90°. Значит, внутренние биссектрисы этих двух смежных углов перпендикулярны.

Для углов 60° и 120° половины равны 30° и 60°; вместе снова 90°. Конкретные числа проверяют общий вывод. В задаче сначала отметь обе биссектрисы и укажи, какие именно половины лежат внутри искомого угла.