§ 7. Перпендикулярные прямые

Если один угол между пересекающимися прямыми равен 90°, смежный с ним тоже 180° − 90° = 90°. Вертикальные углы равны соответствующим углам, поэтому все четыре прямые. Перпендикулярность обозначают знаком ⊥.

Отрезки и лучи называют перпендикулярными, когда перпендикулярны прямые, на которых они лежат. На чертеже эти отрезки могут не доходить до точки пересечения своих прямых. Поэтому оценивай направления несущих прямых, а не только видимый контакт концов.

Точка может лежать на исходной прямой или находиться вне неё. В первом случае строим прямой угол в самой точке. Во втором проводим линию к основанию перпендикуляра на исходной прямой. Единственность означает, что два разных правильных результата невозможны.

Угольник помогает выполнить чертёж: одну сторону прямого угла совмещают с данной прямой, вторую направляют через точку. Но инструмент лишь строит изображение; математическое обоснование связано с единственностью откладывания прямого угла.

Пусть P вне прямой a, PH ⊥ a и H лежит на a. Тогда H — основание, PH — расстояние. Любой другой отрезок PK к точке K той же прямой является наклонной и длиннее PH.

Если точка уже принадлежит прямой, расстояние равно нулю. Не путай расстояние до прямой с расстоянием до отмеченной на ней точки: последнее обычно другое. Для отрезка основание перпендикуляра может оказаться за его концом; это различие учитывают в точной формулировке задачи.

Представь две перекладины, каждая образует прямой угол с одной направляющей. Их направления совпадают, поэтому они не пересекутся. Это полезный способ построить параллельную прямую через две последовательные перпендикулярности.

Условие общей плоскости существенно: в пространстве рассуждение уже требует дополнительных ограничений. В задачах отмечай прямые углы квадратами и указывай, к какой общей прямой относятся оба перпендикуляра. Одного похожего наклона на рисунке недостаточно.