§ 8. Треугольники

У ABC стороны AB, BC, CA, а углы находятся при A, B, C. Напротив вершины A лежит сторона BC. Такое соответствие понадобится в теоремах: больший угол сравнивают с противоположной стороной, а не с одной из прилежащих.

Три точки одной прямой не образуют треугольник: фигура вырождается. Периметр равен сумме трёх сторон. Порядок обхода вершин можно менять, но при записи равенства двух треугольников порядок задаёт соответствие их элементов.

По сторонам выделяют разносторонние, равнобедренные и равносторонние. По углам — остроугольные, прямоугольные и тупоугольные. Один треугольник может одновременно быть прямоугольным и равнобедренным: названия описывают разные признаки.

Равнобедренным называют треугольник с двумя равными сторонами; равносторонний тоже удовлетворяет этому условию, хотя в таблицах его обычно выделяют отдельно. Равные стороны называют боковыми, третью — основанием. Положение основания на рисунке может быть любым.

Если ΔABC = ΔKLM, то A соответствует K, B — L, C — M. Следовательно, AB = KL, BC = LM, AC = KM. Углы сопоставляют в том же порядке. Не выбирай стороны по их горизонтальному или вертикальному положению.

Поворот и переворот не изменяют размеров. Увеличенная копия с теми же углами может иметь вдвое большие стороны и не быть равной исходному треугольнику. Поэтому равенства только трёх углов недостаточно для равенства фигур.

Если два треугольника имеют общую сторону AD, в доказательстве можно написать AD = AD без дополнительного условия. Если треугольники лежат по разные стороны от общей стороны и их внутренние области не перекрываются, эта сторона окажется внутри объединения. В сумму периметров она входит дважды, а во внешнюю границу — ни разу.

Например, сумма периметров двух частей равна периметру внешнего треугольника плюс удвоенная длина разделяющего отрезка. Такая схема помогает находить медианы и другие внутренние отрезки по данным о периметрах, не измеряя рисунок.