ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Трёхчлен и соответствующее уравнение
Выражение 2x² − 6x + 4 само по себе не уравнение. Чтобы найти его корни, приравниваем к нулю. Получаются 1 и 2, то есть при этих аргументах значение выражения исчезает.
Сначала проверяют a ≠ 0. Если старший коэффициент нулевой, это уже не квадратный трёхчлен и общие выводы о параболе и двух корнях неприменимы.
Схема: что с чем связано
| Что дано | Как рассуждать | Что получаем |
|---|---|---|
| Два разных корня | a(x − x₁)(x − x₂) | Не теряем a |
| Один корень x₀ | a(x − x₀)² | Двойной множитель |
| Нет действительных корней | Линейных действительных множителей нет | Например, x² + 1 |
Подумай и объясни
Что значит найти корни трёхчлена?
Сверить рассуждение
Приравнять его к нулю и решить. Корнями ax² + bx + c называют значения, при которых трёхчлен равен нулю.
Главная мысль
Корнями ax² + bx + c называют значения, при которых трёхчлен равен нулю.
Корни превращаются в множители
Для 2x² − 6x + 4 разложение равно 2(x − 1)(x − 2). Без двойки получился бы другой трёхчлен. Проверка раскрытием скобок должна восстановить все три коэффициента.
При двойном корне r формула принимает вид a(x − r)². Если D < 0, на действительные линейные множители разложить нельзя; это не означает, что выражение не существует.
ИССЛЕДУЙ САМ
Меняй условия — проверяй закономерность
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Если действительные корни r и s существуют, ax² + bx + c = a(x − r)(x − s).
Полный квадрат показывает границу
Выражение x² − 6x + 11 равно (x − 3)² + 2. Оно не меньше 2 и нигде не равно нулю. Такой вывод виден без подбора значений x.
Если a отрицателен, квадратная часть неположительна и возникает верхняя граница. Например, −(x − 1)² + 4 не больше 4. Следи, что знак относится ко всему квадрату.
Подумай и объясни
Каково наименьшее значение (x − 3)² + 2?
Сверить рассуждение
2. Выделение квадрата даёт форму a(x − m)² + n.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Выделение квадрата даёт форму a(x − m)² + n.
Сокращение сохраняет ограничения
Дробь (x² − 1)/(x − 1) при x ≠ 1 равна x + 1. После сокращения запись проще, но исходное значение x = 1 остаётся запрещённым.
Сокращаются множители, а не произвольные слагаемые. Чтобы проверить разложение, раскрой скобки; чтобы проверить дробь, дополнительно сопоставь области определения.
Главная мысль
В дроби сначала фиксируют ненулевой знаменатель, затем раскладывают и сокращают множители.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Корнями ax² + bx + c называют значения, при которых трёхчлен равен нулю.
Если действительные корни r и s существуют, ax² + bx + c = a(x − r)(x − s).
Выделение квадрата даёт форму a(x − m)² + n.
В дроби сначала фиксируют ненулевой знаменатель, затем раскладывают и сокращают множители.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.