§ 11. Текстовые задачи с квадратными уравнениями

Длина прямоугольника на 3 см больше ширины, площадь 40 см². Пусть ширина x см, тогда длина x + 3 см и x(x + 3) = 40. В этой модели x > 0.

Уравнение x² + 3x − 40 = 0 имеет корни 5 и −8. Отрицательный корень не может быть шириной. Размеры равны 5 см и 8 см; их произведение действительно 40 см².

Если расстояние фиксировано, увеличение скорости уменьшает время. В таблице удобно записать две скорости, два времени и один путь. Разность времён должна стоять в правильном порядке: медленная поездка длится дольше.

При умножении уравнения с дробями на знаменатели нужно заранее исключить нулевые скорости. После нахождения корней проверяют не только уравнение, но и положительность времени и соответствие условию сравнения.

Два последовательных целых числа имеют произведение 12. Пусть первое x, второе x + 1. Уравнение даёт x = 3 или x = −4. Подходят пары 3, 4 и −4, −3, если положительность не задана.

Нельзя отбрасывать все отрицательные корни по привычке. Напротив, дробное число предметов иногда запрещено даже при положительном значении. Решающее условие — смысл выбранной переменной.

Для прямоугольника 5 × 8 проверяем и разность 8 − 5 = 3, и площадь 5 · 8 = 40. Ответ «x = 5» без указания второй стороны не отвечает вопросу о размерах полностью.

Для движения дополнительно пересчитывают времена по найденным скоростям и сверяют их разность. Единицы должны быть согласованы: минуты переводят в часы, если скорость дана в км/ч.