ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Смотрим на раскрытие скобок
Раскроем (x − r)(x − s): x² − (r + s)x + rs. Сравнение коэффициентов показывает знак минус перед суммой. Например, корни 3 и 4 дают x² − 7x + 12.
Теорему применяют к существующим действительным корням. Сами коэффициенты не гарантируют существования: у x² + x + 1 дискриминант отрицателен, действительную пару с нужными суммой и произведением подобрать нельзя.
Схема: что с чем связано
| Что дано | Как рассуждать | Что получаем |
|---|---|---|
| ax² + bx + c = 0 | Сумма корней | −b/a |
| Тот же трёхчлен | Произведение корней | c/a |
| x² − 5x + 6 = 0 | Сумма 5, произведение 6 | Корни 2 и 3 |
Подумай и объясни
Чему равна сумма корней x² − 7x + 12 = 0?
Сверить рассуждение
7. Для x² + px + q = 0 корни имеют сумму −p и произведение q.
Главная мысль
Для x² + px + q = 0 корни имеют сумму −p и произведение q.
Для неприведённого уравнения делим на a
В 2x² − 7x + 3 = 0 сумма равна 72, произведение 32. Корни 3 и 12 удовлетворяют обеим связям. Нельзя брать 7 и 3, забыв старший коэффициент.
Если нужно проверить найденную пару, проверяют и сумму, и произведение. Одной суммы недостаточно: её могут иметь бесконечно много разных пар.
ИССЛЕДУЙ САМ
Меняй условия — проверяй закономерность
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
У ax² + bx + c = 0 сумма корней −b/a, произведение c/a.
Обратная теорема позволяет подобрать
Для x² + x − 6 = 0 ищем числа с произведением −6 и суммой −1. Подходят −3 и 2. Отрицательное произведение сразу говорит, что знаки разные.
Положительное произведение означает одинаковые ненулевые знаки. Сумма подскажет, положительны оба корня или отрицательны. Если удобного целого подбора нет, переходи к дискриминанту.
Подумай и объясни
Какие корни у x² + x − 6 = 0?
Сверить рассуждение
−3 и 2. Если r + s = −p и rs = q, числа r и s являются корнями x² + px + q = 0.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Если r + s = −p и rs = q, числа r и s являются корнями x² + px + q = 0.
Составляем уравнение и выражения
Для корней −2 и 5 сумма 3, произведение −10: уравнение x² − 3x − 10 = 0. Умножение обеих частей на ненулевое число даст другое уравнение с теми же корнями.
Сумму квадратов находят без отдельных корней: r² + s² = (r + s)² − 2rs. При сумме 3 и произведении −10 это 9 + 20 = 29. Формула экономит вычисления.
Главная мысль
По корням r и s можно записать (x − r)(x − s) = 0.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Для x² + px + q = 0 корни имеют сумму −p и произведение q.
У ax² + bx + c = 0 сумма корней −b/a, произведение c/a.
Если r + s = −p и rs = q, числа r и s являются корнями x² + px + q = 0.
По корням r и s можно записать (x − r)(x − s) = 0.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.