ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Нулевая правая часть помогает разложению
Из x³ − 4x = 0 получаем x(x² − 4) = 0. Первый множитель даёт 0, второй — ±2. Все три корня входят в ответ, потому что мы не делили на x.
Группировка тоже может открыть множители: x³ + 2x² − x − 2 = (x + 2)(x² − 1). После разложения каждое полученное уравнение решают отдельно и объединяют корни.
Схема: что с чем связано
| Что дано | Как рассуждать | Что получаем |
|---|---|---|
| x⁴ − 5x² + 4 = 0 | t = x², t ≥ 0 | t² − 5t + 4 = 0 |
| t = 1 или t = 4 | Обратная замена | x = ±1, ±2 |
| t < 0 | Не квадрат действительного x | Такая ветвь не даёт корней |
Подумай и объясни
Какой корень легко потерять при делении x³ − 4x = 0 на x?
Сверить рассуждение
0. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда нулевой хотя бы один множитель.
Главная мысль
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда нулевой хотя бы один множитель.
Биквадратное сводится к квадратному
Для x⁴ − 5x² + 4 = 0 получаем t² − 5t + 4 = 0, откуда t = 1 или 4. Возвращаемся: x² = 1 или x² = 4. Итог: −2, −1, 1, 2.
Корни уравнения для t — промежуточный результат, не ответ исходной задачи. Каждое положительное t даёт два x, нулевое — один, отрицательное — ни одного действительного x.
ИССЛЕДУЙ САМ
Меняй условия — проверяй закономерность
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
В ax⁴ + bx² + c = 0 вводят t = x², поэтому t ≥ 0.
Повторяющееся выражение тоже можно заменить
У (x − 1)⁴ − 5(x − 1)² + 4 = 0 положим t = (x − 1)². Получаем те же t = 1 и 4. Но возврат теперь даёт x − 1 = ±1 или ±2, то есть −1, 0, 2, 3.
Ограничение на новую переменную определяется самой заменой. Для t = x² + 2 требуется t ≥ 2, а не просто t ≥ 0. Сначала обозначь замену полностью, затем укажи допустимые t.
Подумай и объясни
Если t = x² + 2, что верно?
Сверить рассуждение
t ≥ 2. Замена должна превращать все вхождения выбранного выражения в одну новую переменную.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Замена должна превращать все вхождения выбранного выражения в одну новую переменную.
Собираем ответ без повторов
Если несколько ветвей дали один и тот же корень, записывай его один раз. Например, у x²(x − 2) = 0 есть два различных корня, 0 и 2, хотя степень уравнения третья.
Число действительных корней может быть меньше степени. Не добавляй недостающие значения ради количества. Проверка исходной записи особенно важна после сокращений и замен.
Главная мысль
После обратной замены все найденные значения проверяют в исходном уравнении.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда нулевой хотя бы один множитель.
В ax⁴ + bx² + c = 0 вводят t = x², поэтому t ≥ 0.
Замена должна превращать все вхождения выбранного выражения в одну новую переменную.
После обратной замены все найденные значения проверяют в исходном уравнении.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.