§ 13. Квадратичная функция и её свойства

В развёрнутой записи легко прочитать c: это y при x = 0. Форма a(x − r)(x − s) показывает нули, если они существуют. Форма a(x − m)² + n показывает вершину.

Например, x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3) = (x − 2)² − 1. Это три описания одной параболы, а не три разных графика. Выбирай форму по вопросу задачи.

При a > 0 квадратная добавка неотрицательна, поэтому наименьшее значение n достигается при x = m. При a < 0 возникает наибольшее значение n. Парабола открывается вверх или вниз соответственно.

Для y = −2(x − 1)² + 3 вершина (1; 3), максимум 3. Множество значений — (−∞; 3]. Значение самой функции и аргумент достижения максимума не путай.

Для y = (x − 2)² − 1 точки при x = 1 и 3 имеют y = 0, при x = 0 и 4 имеют y = 3. Вершина расположена между каждой такой парой на оси симметрии.

Модуль a задаёт вертикальное растяжение: при одинаковом отклонении x квадратная добавка умножается на |a|. Смещение m сдвигает вершину по горизонтали, n — по вертикали.

У y = 2x² − 8x + 5: m = 84 = 2, n = 8 − 16 + 5 = −3. Значит график имеет вид 2(x − 2)² − 3. Проверка раскрытием восстанавливает исходные коэффициенты.

Чтобы найти пересечения с Ox, решают f(x) = 0; с Oy — подставляют x = 0. Вершина не обязана лежать ни на одной оси, а нулей может быть два, один или ни одного.