§ 14. Монотонность и знакопостоянство квадратичной функции

Функция y = x² на промежутке (−∞; 0] убывает. При этом для x < 0 её значения положительны. «Убывает» не означает «ниже оси», а «возрастает» не означает «положительна».

Для сравнения двух значений сначала проверь, находятся ли их аргументы на одном промежутке монотонности. Если точки по разные стороны вершины, одного порядка x недостаточно.

У y = (x − 2)² − 1 функция убывает на (−∞; 2] и возрастает на [2; +∞). Для аргументов 3 и 5 справа от вершины имеем f(3) < f(5).

Аргументы 0 и 4 равноудалены от 2, поэтому значения равны. Чтобы сравнить точки с разных сторон, можно сравнить их расстояния до оси симметрии. Чем дальше при a > 0, тем выше точка.

Разложение a(x − r)(x − s) объясняет знак: между корнями множители имеют разные знаки, снаружи — одинаковые. В самих корнях значение нуль, поэтому они не входят в промежутки строгого знакопостоянства.

Если a < 0, итоговые знаки меняются. Например, −(x − 1)(x − 4) положительно на (1; 4) и отрицательно вне [1; 4]. Множитель a тоже участвует в анализе.

У (x − 2)² функция положительна всюду кроме 2, где равна нулю. У (x − 2)² + 1 она положительна при любом x. Обе параболы направлены вверх, но их множества нулей различны.

При поиске максимума или минимума на заданном отрезке учитывай и вершину, и концы отрезка. Если вершина не входит в рассматриваемую область, экстремум всей параболы не обязательно доступен в задаче.