ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Приводим всё к одной стороне
В x² + 1 ≤ 3x переносим 3x влево: x² − 3x + 1 ≤ 0. Только после этого ищем нули соответствующего трёхчлена. Сравнивать корни исходных левой и правой частей по отдельности нельзя.
Корни уравнения отмечают границы участков, но не все подходящие числа. После их нахождения нужно решить вопрос о знаке на каждом промежутке и о включении границ.
Схема: что с чем связано
| Что дано | Как рассуждать | Что получаем |
|---|---|---|
| a(x − x₁)(x − x₂) ≤ 0, a > 0 | Между корнями с границами | [x₁; x₂] |
| Тот же трёхчлен < 0 | Границы исключены | (x₁; x₂) |
| (x − m)² ≤ 0 | Квадрат равен нулю | Только x = m |
Подумай и объясни
Что сначала сделать с x² < 2x + 3?
Сверить рассуждение
Получить x² − 2x − 3 < 0. Квадратное неравенство сравнивает ax² + bx + c с нулём, a ≠ 0.
Главная мысль
Квадратное неравенство сравнивает ax² + bx + c с нулём, a ≠ 0.
Два корня дают три участка
Неравенство (x − 1)(x − 4) ≤ 0 решается на [1; 4]. Между 1 и 4 произведение отрицательно, в концах равно нулю. При строгом знаке < концы были бы исключены.
Для > 0 выбираем внешние лучи: (−∞; 1) ∪ (4; +∞). Нельзя объединить их в один отрезок: средняя часть как раз не подходит. В модели меняй знак сравнения и положение корней.
ИССЛЕДУЙ САМ
Меняй условия — проверяй закономерность
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
При двух различных корнях знаки на трёх промежутках: +, −, + для a > 0 и −, +, − для a < 0.
Двойной корень не меняет знак
Для (x − 2)² < 0 решений нет. Для ≤ 0 подходит только 2. Для > 0 подходят все числа кроме 2, а для ≥ 0 — вся прямая. Четыре похожие записи дают четыре разных ответа.
При D < 0 нулей нет: знак везде равен знаку a. Поэтому x² + 1 < 0 не имеет решений, а x² + 1 > 0 верно всегда. Не рисуй два корня там, где их не существует.
Подумай и объясни
Что даёт (x − 2)² ≤ 0?
Сверить рассуждение
{2}. Если D = 0, выражение равно a(x − r)².
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Если D = 0, выражение равно a(x − r)².
Скобки проверяют подстановкой
Для x² − 5x + 6 ≥ 0 ответ (−∞; 2] ∪ [3; +∞). Числа 2 и 3 дают нуль, 0 даёт положительное значение, 2,5 — отрицательное. Все участки подтверждаются.
Если умножил неравенство на −1, поменяй знак сравнения. На последнем шаге вернись к исходной записи: проверка одного внутреннего и одного внешнего значения ловит выбор неправильной области.
Главная мысль
При нестрогом сравнении найденные нули включают; при строгом — исключают.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Квадратное неравенство сравнивает ax² + bx + c с нулём, a ≠ 0.
При двух различных корнях знаки на трёх промежутках: +, −, + для a > 0 и −, +, − для a < 0.
Если D = 0, выражение равно a(x − r)².
При нестрогом сравнении найденные нули включают; при строгом — исключают.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.