ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Постоянное произведение
Если одну работу выполняют 4 машины за 6 часов, объём составляет 24 машино-часа. Для x одинаковых машин время y = 24/x. Удвоение количества уменьшает время вдвое.
Практическая модель требует x > 0, обычно целого. Математическая функция допускает любой ненулевой действительный x. Нельзя автоматически переносить отрицательные значения в задачу о количестве машин.
Схема: что с чем связано
| Что дано | Как рассуждать | Что получаем |
|---|---|---|
| x = 0 | Подставить нельзя | Деление на ноль |
| k > 0 | Знаки x и y одинаковы | I и III четверти |
| k < 0 | Знаки x и y противоположны | II и IV четверти |
Подумай и объясни
Что постоянно при y = k/x?
Сверить рассуждение
Произведение xy. Функция y = k/x при k ≠ 0 задаёт равенство xy = k.
Главная мысль
Функция y = k/x при k ≠ 0 задаёт равенство xy = k.
Нуль запрещён с обеих сторон
При x = 0 делить нельзя. Равенство y = 0 тоже невозможно при k ≠ 0, ведь тогда xy = 0. Поэтому график не пересекает ни Ox, ни Oy.
При больших |x| значение |y| становится маленьким, но не нулевым. Возле x = 0 значения по модулю велики. График приближается к осям; это не означает касания или пересечения.
ИССЛЕДУЙ САМ
Меняй условия — проверяй закономерность
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Область определения и множество значений: все действительные числа, кроме нуля.
Знак k выбирает четверти
Если произведение положительно, x и y одного знака. Если отрицательно — разных. Точки (2; 3) и (−2; −3) принадлежат y = 6/x и симметричны относительно начала координат.
Таблица по обе стороны нуля задаёт две отдельные ветви. Нельзя соединять их отрезком через начало координат: там функция не определена.
Подумай и объясни
В каких четвертях y = −3/x?
Сверить рассуждение
Во II и IV. При k > 0 ветви лежат в I и III четвертях, при k < 0 — во II и IV.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
При k > 0 ветви лежат в I и III четвертях, при k < 0 — во II и IV.
Монотонность проверяют на каждой ветви
Нельзя назвать y = 1/x убывающей на всей области сразу. Например, −1 < 1, но f(−1) = −1 < 1 = f(1), что противоречит такому общему утверждению.
Чтобы найти k по точке, перемножь координаты. Для (3; −4) получаем k = −12. Новые точки проверяют тем же произведением; масштаб рисунка не заменяет точного вычисления.
Главная мысль
При k > 0 функция убывает отдельно на (−∞; 0) и (0; +∞); при k < 0 возрастает на каждой ветви.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Функция y = k/x при k ≠ 0 задаёт равенство xy = k.
Область определения и множество значений: все действительные числа, кроме нуля.
При k > 0 ветви лежат в I и III четвертях, при k < 0 — во II и IV.
При k > 0 функция убывает отдельно на (−∞; 0) и (0; +∞); при k < 0 возрастает на каждой ветви.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.