ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Расстояние не имеет знака
Числа 4 и −4 расположены на одинаковом расстоянии от нуля, поэтому модули равны 4. Формула −x для отрицательного x даёт положительное число, а не отрицательный модуль.
Для выражения |x − 2| граница раскрытия — x = 2. Справа получается x − 2, слева 2 − x. Следи за знаком всего выражения внутри, а не только буквы x.
Схема: что с чем связано
| Что дано | Как рассуждать | Что получаем |
|---|---|---|
| x ≥ 0 | |x| = x | Правая ветвь |
| x < 0 | |x| = −x | Левая ветвь |
| |x − a| = r, r > 0 | Расстояние до a равно r | x = a − r или a + r |
Подумай и объясни
Чему равно |−6|?
Сверить рассуждение
6. |x| = x при x ≥ 0; |x| = −x при x < 0.
Главная мысль
|x| = x при x ≥ 0; |x| = −x при x < 0.
График состоит из двух лучей
График симметричен относительно Oy. Область определения — вся прямая, множество значений — [0; +∞). На отрицательной полуоси функция убывает, на положительной возрастает.
В точке 0 достигается минимум 0. Максимума на всей прямой нет. Не соединяй две симметричные точки горизонтально: между ними график опускается к вершине.
ИССЛЕДУЙ САМ
Меняй условия — проверяй закономерность
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Справа от нуля y = x, слева y = −x; вершина (0; 0).
Уравнение задаёт расстояние
Условие |x − 2| = 3 требует расстояния 3 от точки 2. Подходят −1 и 5. При c = 0 остаётся одна точка a, при c < 0 решений нет.
Геометрическое понимание защищает от потери одного ответа: одинаковое расстояние можно отложить влево и вправо. Проверка состоит в вычислении обеих разностей и их модулей.
Подумай и объясни
Решения |x − 2| = 3?
Сверить рассуждение
−1 и 5. При c > 0 у |x − a| = c решения a − c и a + c.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
При c > 0 у |x − a| = c решения a − c и a + c.
Неравенство выбирает близкие или далёкие точки
Если расстояние должно быть не больше 3 от точки 2, ответ [−1; 5]. Если оно больше 3, выбираем два внешних луча. Строгий знак исключает граничные точки.
Для y = |x − a| + b вершина сдвигается в (a; b). Сначала найди место нулевого выражения внутри модуля, затем прибавь вертикальное смещение.
Главная мысль
При c > 0 условие |x − a| < c даёт (a − c; a + c).
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
|x| = x при x ≥ 0; |x| = −x при x < 0.
Справа от нуля y = x, слева y = −x; вершина (0; 0).
При c > 0 у |x − a| = c решения a − c и a + c.
При c > 0 условие |x − a| < c даёт (a − c; a + c).
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.