ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Допустимы только неотрицательные x
Отрицательная площадь квадрата невозможна; математически квадрат действительного числа не бывает отрицательным. Арифметический корень выбирает неотрицательную сторону, поэтому y ≥ 0.
Начало координат входит в график: √0 = 0. Все остальные точки расположены в I четверти. Не добавляй нижнюю ветвь: она соответствует y = −√x, другой функции.
Схема: что с чем связано
| Что дано | Как рассуждать | Что получаем |
|---|---|---|
| x = 0, 1, 4, 9 | y = √x | 0, 1, 2, 3 |
| x < 0 | В действительных числах корня нет | Исключено из области определения |
| √x = a | Сначала проверить a ≥ 0 | Затем x = a² |
Подумай и объясни
При каком x выражение √x не определено в действительных числах?
Сверить рассуждение
При x = −1. Область определения y = √x равна [0; +∞), множество значений тоже [0; +∞).
Главная мысль
Область определения y = √x равна [0; +∞), множество значений тоже [0; +∞).
Выбираем удобные точки
Получаются точки (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3), (16; 4). Между ними тоже есть точки графика, включая аргументы с иррациональными значениями корня.
Масштаб осей можно выбирать, но его нужно подписать. График плавный, не прямая. При одинаковой прибавке x рост y постепенно становится меньше.
ИССЛЕДУЙ САМ
Меняй условия — проверяй закономерность
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Для таблицы удобно брать полные квадраты: 0, 1, 4, 9, 16.
Порядок сохраняется
Из 7 < 11 следует √7 < √11 без десятичных вычислений. В обратном направлении равенство √x = 5 означает x = 25; правая часть должна быть неотрицательной.
Условие √x = −5 не решается возведением в квадрат без проверки. Кандидат 25 даст слева 5, а не −5. Квадрат может потерять информацию о знаке.
Подумай и объясни
Как решить √x = −2?
Сверить рассуждение
Решений нет. Если 0 ≤ a < b, то √a < √b: функция возрастает на всей области определения.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Если 0 ≤ a < b, то √a < √b: функция возрастает на всей области определения.
Связь с квадратом ограничена ветвью
Поэтому график связан с правой половиной параболы y = x² обменом координат. Точка (2; 4) параболы становится точкой (4; 2) корневой функции.
Для √(x − 3) допустимы x ≥ 3, и начальная точка смещается вправо. В любом выражении с корнем сначала находят, где подкоренное выражение неотрицательно, затем исследуют значения.
Главная мысль
При y = √x выполняется x = y² и y ≥ 0.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Область определения y = √x равна [0; +∞), множество значений тоже [0; +∞).
Для таблицы удобно брать полные квадраты: 0, 1, 4, 9, 16.
Если 0 ≤ a < b, то √a < √b: функция возрастает на всей области определения.
При y = √x выполняется x = y² и y ≥ 0.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.