ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Корень произведения
Произведение √a · √b неотрицательно, а его квадрат равен ab. Значит оно и является арифметическим корнем из ab. Например, √(9 · 5) = 3√5: удобный квадрат можно извлечь отдельно.
Для a = b = −1 левая часть √1 существует, а √(−1) справа в действительных числах не определён. Поэтому условие неотрицательности относится к каждому множителю, а не только к их произведению.
Схема: что с чем связано
| Что дано | Как рассуждать | Что получаем |
|---|---|---|
| √(ab) = √a · √b | a ≥ 0, b ≥ 0 | Условие для каждого корня |
| √(a/b) = √a / √b | a ≥ 0, b > 0 | Знаменатель ненулевой |
| √(a + b) | Не равно √a + √b в общем случае | √(9 + 16) = 5, а не 7 |
Подумай и объясни
При каких условиях можно писать √a√b = √(ab)?
Сверить рассуждение
a ≥ 0 и b ≥ 0. При a ≥ 0, b ≥ 0 верно √(ab) = √a · √b.
Главная мысль
При a ≥ 0, b ≥ 0 верно √(ab) = √a · √b.
Корень частного
Знаменатель положителен, потому что делить на нуль нельзя. Например, √(49100) = 710. Проверка: дробь неотрицательна, её квадрат равен исходной дроби.
Если в знаменателе выражение с переменной, ограничение записывают до сокращений. В √(x²/9) ответ |x|/3. Девятка положительна, но знак x неизвестен, поэтому модуль сохраняется.
ИССЛЕДУЙ САМ
Меняй условия — проверяй закономерность
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
При a ≥ 0, b > 0 верно √(a/b) = √a/√b.
Квадратный множитель выходит с модулем
Для √(36 · 7) получаем 6√7. Но в √(x² · 7) коэффициентом будет |x|. Если дополнительно x < 0, результат равен −x√7: число −x тогда положительно.
Чётная степень под корнем сначала становится квадратом: √(x⁶) = √((x³)²) = |x³|. Не надо угадывать знак по тому, как выглядит буква. Проверка отрицательным значением быстро обнаруживает потерю модуля.
Подумай и объясни
Чему равно √(x²) без дополнительных условий?
Сверить рассуждение
|x|. √(a²b) = |a|√b при b ≥ 0.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
√(a²b) = |a|√b при b ≥ 0.
Для суммы такого правила нет
Для a = 9, b = 16 слева √25 = 5, справа 3 + 4 = 7. Это контрпример ложному правилу. Корень распределяется по произведению и частному при нужных условиях, но не по сумме.
Складывать можно подобные выражения: 2√3 + 5√3 = 7√3. Сумму √2 + √3 оставляют суммой. Перед действием назови его: умножение, деление и сложение используют разные свойства.
Главная мысль
√(a + b) обычно не равно √a + √b.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
При a ≥ 0, b ≥ 0 верно √(ab) = √a · √b.
При a ≥ 0, b > 0 верно √(a/b) = √a/√b.
√(a²b) = |a|√b при b ≥ 0.
√(a + b) обычно не равно √a + √b.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.