ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Граница и внутренняя область
Звенья границы называют сторонами, их концы — вершинами. Простая ломаная не имеет самопересечений. Периметр складывается из длин всех сторон; внутренняя площадь в эту сумму не входит.
Вершины перечисляют по порядку обхода. Отрезок между соседними вершинами — сторона, между несоседними — диагональ. Одни и те же две вершины задают одну диагональ, как бы ни читались её буквы.
Соседние стороны многоугольника не лежат на одной прямой. Иначе лишняя отметка на прямой стороне не создаёт новую вершину многоугольника.
Схема: что с чем связано
| Что дано | Как рассуждать | Что получаем |
|---|---|---|
| n вершин | Треугольников из одной вершины | n − 2 |
| Сумма углов | (n − 2) · 180° | Только внутренние углы |
| Диагонали | n(n − 3)/2 | Каждая посчитана дважды |
Подумай и объясни
Что соединяет диагональ?
Сверить рассуждение
Несоседние вершины. Многоугольник — простая замкнутая ломаная вместе с ограниченной ею частью плоскости.
Главная мысль
Многоугольник — простая замкнутая ломаная вместе с ограниченной ею частью плоскости.
Выпуклость видна относительно каждой стороны
У выпуклой фигуры нет вогнутых углов, а диагонали проходят внутри. Если одна вершина образует «впадину», фигура может стать невыпуклой. Не определяй выпуклость только по общему внешнему виду.
В формулах ниже удобно рассуждать с выпуклыми многоугольниками. Все их внутренние углы меньше 180°. Для невыпуклых фигур некоторые привычные построения диагоналями требуют дополнительного разбора.
ИССЛЕДУЙ САМ
Меняй условия — проверяй закономерность
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
Выпуклый многоугольник лежит по одну сторону от прямой каждой своей стороны.
Треугольники объясняют сумму углов
Из одной вершины проведи диагонали ко всем несоседним вершинам. Получатся n − 2 треугольника без перекрытий. Их углы вместе составляют все внутренние углы исходной фигуры.
У пятиугольника три треугольника, сумма 540°. У четырёхугольника два, сумма 360°. Для равноугольного n-угольника каждый угол равен этой сумме, делённой на n.
Подумай и объясни
Какова сумма углов пятиугольника?
Сверить рассуждение
540°. Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна 180° · (n − 2).
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна 180° · (n − 2).
Считаем диагонали без повторов
Из каждой вершины можно провести n − 3 диагонали: исключаем саму вершину и двух соседей. При умножении на n каждая диагональ считается дважды — от обоих концов. Поэтому делим на 2.
У шестиугольника 6 · 32 = 9 диагоналей. Сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине в одном направлении обхода, равна 360°.
Главная мысль
Число диагоналей n-угольника равно n(n − 3)/2.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Многоугольник — простая замкнутая ломаная вместе с ограниченной ею частью плоскости.
Выпуклый многоугольник лежит по одну сторону от прямой каждой своей стороны.
Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна 180° · (n − 2).
Число диагоналей n-угольника равно n(n − 3)/2.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.