ПРИМЕР 1 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Разбираемся в теме
Основные пункты параграфа
Разберись, почему работает правило, исследуй модель и проверь себя.
Находим наибольший квадратный множитель
Число 72 = 36 · 2, поэтому √72 = 6√2. После этого 3√8 + √18 = 6√2 + 3√2 = 9√2. Радикалы стали подобными только после упрощения.
Можно начать с меньшего квадрата: √72 = 2√18. Но это ещё не окончательное упрощение, потому что из √18 выносится 3. Проверь, не осталось ли под корнем множителя-квадрата больше 1.
Схема: что с чем связано
| Что дано | Как рассуждать | Что получаем |
|---|---|---|
| √72 | √(36 · 2) | 6√2 |
| 3√5 | √(9 · 5) | √45 |
| 1/(√3 − 1) | Умножить на (√3 + 1)/(√3 + 1) | (√3 + 1)/2 |
Подумай и объясни
Как упростить √48?
Сверить рассуждение
4√3. Подкоренное число удобно представить как полный квадрат, умноженный на остаток.
Главная мысль
Подкоренное число удобно представить как полный квадрат, умноженный на остаток.
Внесение множителя — обратный ход
Число 3√2 равно √18, а −3√2 равно −√18. Потеря внешнего минуса превратила бы отрицательное число в положительное. Для сравнения 3√2 и 2√5 можно сравнить 18 и 20 под общим знаком корня.
Сравнение через квадраты безопасно для неотрицательных величин. Если одна сторона отрицательна, сначала разберись со знаками. Например, −3√2 < 0 < 2√5 без всяких вычислений.
ИССЛЕДУЙ САМ
Меняй условия — проверяй закономерность
Изменяй значения ползунками или вводи числа. Сначала предскажи ответ; вычисления можно открыть отдельно.
Показать вычисления и пояснение
Главная мысль
При a ≥ 0 и b ≥ 0: a√b = √(a²b); отрицательный множитель оставляют снаружи.
Рационализируем знаменатель
Для 5/√5 домножаем обе части дроби на √5: получаем 5√55 = √5. Для 1/(√3 + 1) выбираем сопряжённое √3 − 1: знаменатель станет 3 − 1 = 2.
Домножить только знаменатель нельзя: значение изменится. Если в выражении переменная, проверь ненулевые множители и исходные ограничения. Итоговая форма должна описывать те же допустимые значения.
Подумай и объясни
Чем домножить 1/(√5 + 2)?
Сверить рассуждение
На (√5 − 2)/(√5 − 2). Числитель и знаменатель умножают на одно ненулевое выражение, чтобы внизу исчез корень.
ПРИМЕР 2 · РАЗБОР ПО ШАГАМ
Главная мысль
Числитель и знаменатель умножают на одно ненулевое выражение, чтобы внизу исчез корень.
Проверяем форму и значение
Раскроем (√5 − √2)²: 5 − 2√10 + 2 = 7 − 2√10. Средний член не исчезает. Произведение сопряжённых проще: (√5 − √2)(√5 + √2) = 3.
Примерная оценка помогает заметить ошибку: √5 − √2 около 0,82, его квадрат около 0,67. Выражение 7 − 2√10 даёт такую величину, а 7 без среднего члена явно не подходит.
Главная мысль
После преобразований проверяют знак, ограничения и возможность дальнейшего упрощения.
Применяем знания
Решаем самостоятельно
12 заданий по теме параграфа. Записывай промежуточные действия в тетради, затем введи ответ. Единицы уже указаны рядом с полями. Если нужно восстановить выражение, введи его коэффициенты в подписанные поля. В заданиях с выбором отметь верное утверждение.
Число можно вводить с запятой или точкой. Дробь — как 3/4, смешанное число — как −2 1/3. Равные дроби принимаются; если требуется несократимая запись, сократи её. Подсказка помогает, а просмотр готового решения не засчитывается как самостоятельное выполнение.
Математический тренажёр
Закрепляем способ решения
Новые варианты из банка заданий этого параграфа. Решай в своём темпе.
СОБЕРЁМ ГЛАВНОЕ
Шесть выводов
Подкоренное число удобно представить как полный квадрат, умноженный на остаток.
При a ≥ 0 и b ≥ 0: a√b = √(a²b); отрицательный множитель оставляют снаружи.
Числитель и знаменатель умножают на одно ненулевое выражение, чтобы внизу исчез корень.
После преобразований проверяют знак, ограничения и возможность дальнейшего упрощения.
Объясни, что означает каждый шаг решения.
Проверь ответ обратным действием или по исходному условию.
Проверь себяТест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Проверь себя
Тест: 10 вопросов
4 вопроса на понимание и 6 заданий. За верный ответ — 0,5 балла, максимум — 5.
Ответь на все вопросы. Пояснения появятся после проверки.