§ 5. Числовые промежутки. Объединение и пересечение

Запись (−2; 5] означает −2 < x ≤ 5. Число −2 не подходит, 5 подходит. У бесконечности всегда круглая скобка: это направление продолжения, а не число, которое можно включить.

Интервал открыт с двух сторон, отрезок замкнут с двух, полуинтервал содержит одну из границ. Название помогает, но для решения важнее явно проверить каждую граничную точку.

Для A = [−2; 3] и B = (1; 5) общей частью будет (1; 3]. Единица исключена из B, тройка входит в оба множества. На прямой ищем участок двойного выделения.

Промежутки могут иметь ровно одну общую точку: [0; 2] ∩ [2; 5] = {2}. Если заменить первый на [0; 2), общей точки не останется. Тогда пишут ∅, а не 0.

Для [−2; 3] и (1; 5) объединение равно [−2; 5). Перекрытие записывают один раз. Если между промежутками есть разрыв, в ответе остаются две части, соединённые знаком ∪.

Например, (−∞; 0) ∪ (0; +∞) — все числа кроме нуля. Это не вся числовая прямая: одна пропущенная точка тоже существенна. Если хотя бы один промежуток включает нуль, разрыв исчезнет.

Для пересечения (−1; 4] и [2; 7) получаем [2; 4]. Проверим 2 и 4: оба удовлетворяют двум условиям. Число 1 принадлежит лишь первому, 5 — лишь второму, поэтому в пересечение не входят.

Разделяй «элемент множества» и «длину промежутка». У открытого интервала может не быть наименьшего элемента, хотя есть левая граница. Требование целых чисел задаёт отдельную задачу и может дать минимум.