§ 6. Системы и совокупности линейных неравенств

Условия x > 1 и x < 4 вместе дают (1; 4). Если нужно хотя бы одно из них, подходит любое число: число справа от 1 выполняет первое, слева от 4 — второе, а промежуток между ними выполняет оба.

Фигурная скобка обозначает систему, квадратная скобка слева от списка — совокупность. Эта скобка не является границей числового промежутка: её роль определяется всей записью.

Пусть 2x − 3 ≥ 1 и −x + 5 > 0. Первое даёт x ≥ 2, второе x < 5. Только после этого ищем общий ответ [2; 5). У пятёрки круглая скобка из-за строгого второго условия.

Не сравнивай левые части двух разных строк друг с другом. Каждая строка сначала решается независимо. Если коэффициенты исчезли, реши, получилась ли истина для всех x или ложь для всех x.

Двойное неравенство — одна строка, два условия

Запись −1 < 2x + 3 ≤ 9 означает одновременно −1 < 2x + 3 и 2x + 3 ≤ 9. Вычтем 3 из всех трёх частей: −4 < 2x ≤ 6. Разделим каждую часть на 2: −2 < x ≤ 3. Ответ — (−2; 3].

При делении на отрицательное число меняются оба знака. Например, 1 ≤ −2x + 5 < 9 даёт −4 ≤ −2x < 4, затем 2 ≥ x > −2. Перепишем слева направо: −2 < x ≤ 2. Преобразовывать только среднюю часть нельзя.

Система x ≥ 3, x ≤ 3 даёт {3}. Система x > 3, x ≤ 3 несовместна. Совокупность x < 3, x ≥ 3 охватывает все действительные числа. Вид конечной точки решает исход.

В системе строка «все числа» ничего не ограничивает, а строка «нет решений» делает всю систему пустой. В совокупности наоборот: пустая строка ничего не добавляет, а вся прямая делает весь ответ полной прямой.

Для ответа [2; 5) число 2 должно выполнять обе строки, 5 хотя бы одну нарушать. Возьми также 3 и 6: первое ожидаемо подходит, второе нет. Такая проверка ловит неверный знак и перепутанные скобки.

Если задача о количестве предметов, из промежутка выбирают целые неотрицательные числа. Например, [2; 5) даёт 2, 3, 4 предмета. Интервал и набор целых значений — разные формы ответа на разные вопросы.