§ 7. Квадратные уравнения. Неполные квадратные уравнения

В 2x² − 3x + 1 = 0 коэффициенты a = 2, b = −3, c = 1. Знак входит в коэффициент. Если после переноса и сокращения член x² исчез, уравнение уже не квадратное.

Например, x² + 2x = x² + 7 сводится к 2x = 7. Нельзя применять формулу квадратного уравнения к первоначальному виду только потому, что там есть квадраты.

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель нулевой. Для x² − 5x = 0 получаем x = 0 или x − 5 = 0. Оба корня, 0 и 5, проверяются в исходной записи.

Деление на x заранее исключило бы x = 0 и потеряло корень. Делить на выражение с неизвестным можно только после отдельного разбора его нулевых значений.

У 2x² − 18 = 0 получается x² = 9, значит x = ±3. У 2x² + 18 = 0 квадрат должен быть −9, поэтому действительных корней нет. Знак правой части определяет число решений.

Если c = 0, уравнение ax² = 0 при a ≠ 0 имеет только корень 0. Не записывай «два нуля» как два различных решения.

Раскроем x(x − 2) = 3x: x² − 5x = 0, откуда 0 и 5. Проверка нуля особенно важна после вынесения переменной. Для каждого ответа вычисляем обе исходные части.

В текстовой задаче уравнение может дать два числа, а смысл оставить одно. Но этот отбор выполняют после алгебраического решения и объясняют, например, невозможностью отрицательной длины.