§ 8. Формулы корней квадратного уравнения

Умножь уравнение на 4a и перенеси 4ac вправо. Добавление b² превращает левую часть в полный квадрат. Правая часть D = b² − 4ac и называется дискриминантом.

Квадрат слева неотрицателен. Поэтому D < 0 означает отсутствие действительных решений, D = 0 — один корень, D > 0 — два. Это вывод из смысла квадрата, а не отдельное правило для запоминания.

Для x² − 5x + 6 = 0: D = 25 − 24 = 1. Получаем (5 − 1)/2 = 2 и (5 + 1)/2 = 3. Здесь b = −5, поэтому −b = 5.

Знаменатель относится ко всему числителю. Запись −b ± √D/2a без скобок неоднозначна и легко приводит к другой операции. Подставляй отрицательные коэффициенты в скобках.

У x² − 6x + 9 = 0 корень 3. У x² − 2 = 0 корни −√2 и √2: точная запись предпочтительнее бесконечной десятичной дроби.

Если b = 2k, удобно считать D₁ = k² − ac и x = (−k ± √D₁)/a. Это та же формула после сокращения на 2. Нельзя смешивать D₁ с исходным знаменателем 2a.

Для 2x² + x − 3 = 0 дискриминант 25, корни 1 и −32. Проверка первого: 2 + 1 − 3 = 0. Второго: 2 · 94 − 32 − 3 = 0.

Если один корень не подошёл, проверь знаки b и c, вычисление −4ac и деление всего числителя. Число различных корней должно согласоваться со знаком D.